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标题: CT图像重建算法的FPGA实现之五 [打印本页]

作者: pengpengpang 时间: 2015-12-25 15:41 标题: CT图像重建算法的FPGA实现之五

图2.1 有限带宽斜变滤波器的频率表示

注意，投影以间隔

采样。根据卷积理论，等式(2.9)可以写为

(2.17)

其中

是满足条件

的

值。这里，我们利用被扫描物体具有有限空间紧支集这一事实。在滤波投影的离散实现时，我们只对在

整数倍处的滤波数值感兴趣。把

代入等式(2.16)中，得到

(2.18)

滤波函数的冲激响应在图2.2中画出。在该图中，我们设

。如果用

表示在角度

下投影的离散采样，等式(2.10)中描述的滤波投影可以表达为一个空间域卷积：

(2.19)

图2.2 斜边滤波器的冲激响应

这里，我们利用了每个投影在空间上具有有限紧支集的事实。即在下标范围以外，

为0.这意味着，要确定

，我们只需利用在范围

内的

。
尽管等式(2.19)的离散卷积实现可以直接得到被滤波的投影，当N很大时，往往在频率域中执行运算效率更高[使用快速傅里叶变换(FFT)运算]。对于目前一台典型的CT扫描机，一次单独投影的采样数N接近1000.因此，我们希望得到

序列的频率域形式。在有限范围内

的离散傅里叶变换

与等式(2.15)描述的

不同，如图2.3所示。二者之间主要差别是直流成分。尽管差相当小，它对重建图像CT数准确度的影响不能忽略。

现在我们考虑循环卷积[9]的问题。等式(2.10)中描述的原始滤波运算需要一个非周期性的卷积。当这个运算在频率域中执行时，只能是周期性或循环卷积。如果直接实线前面所述的运算序列，可能产生干涉伪像。这就是所谓的卷绕(warp-around)效应，或者周期间干涉。为了避免伪像，需要在傅里叶变换和滤波运算之前为每个投影填补足够数量的零。零的最少数目必须等于初始投影采样数减1(即N-1)。

图2.3中所示斜变滤波器

的特性表明，相对于低频成分，

更突出强调高频成分。事实上，斜变滤波器表现有些好像微分运算符。因此，可以把滤波运算想象为一个反卷积过程，去掉了反投影产生的模糊。

图2.3

函数（实线）和有限带宽斜变滤波器傅里叶变换（虚线）的比较
在等式(2.15)中，我们采用了一个简单的矩形窗函数来限制滤波核。可以另外修改窗函数，以改变滤波器的频率响应。实际应用中，窗函数经常被作为一个工具，用来修改重建图像的噪声特性，以实现空间分辨率和图像噪声之间的折中
在许多用于数值计算和图像的高级语言软件系统中，如Matlab(The MathWorks,Natick,MA)或IDL(Research Systems,Inc,Boulder,CO),矢量或矩阵可以直接表示成变量。还可以针对矢量定义不同运算符。在这样的环境中，平行反投影的实现变得相当容易。对于每个被测投影(在数据预处理或预调理后)，投影被填补足够多的0以避免“周期间”干扰。对补零后的投影进行傅里叶变换，并且被变换的投影乘以一个滤波函数[10]。然后，对结果进行傅里叶反变换，得到一个被滤波的投影。该投影被反投影(通过“像素驱动”或“射线驱动”)到图像矩阵。为了提高空间分辨率，滤波投影经常在反投影过程之前进行预插值。在投影数据集合中对每次投影重复整个过程。图2.4显示一个流程图，描述了对于平行束投影[11]的重建过程

图2.4 平行投影重建过程的流程图

2.4 目标重建过程
医用CT的典型图像矩阵512×512。对于50cm重建FOV，每个像素尺寸大约1mm。根据Nyquist采样理论，这样的采样密度所支持的最高频率成分是5lp/cm(线对/厘米)。如果想检查具有更高空间辨率成分的解剖结构，图像像素间的采样距离必须减小。这可以通过增大重建图像矩阵尺寸或减小重建FOV来实现。增大的图像尺寸不仅影响重建速度(因为要被重建像素数与矩阵尺寸成平方关系)，而且增加存储量。
另一可选方案是减少重建FOV。因为大多数高分辨率应用只需要检查很小一个区域(如内听管或脊椎骨)，缩小的FOV不会产生限制。考虑到重建被定位到一个较小区域这个事实，该方法经常被称为“目标”或“缩放”重建。
目标重建过程类似于全FOV重建。一旦得到一个滤波投影(滤波过程和全FOV过程一致)，反投影将缩小的FOV映射到投影上去。例如，假设对一个

重建FOV进行像素驱动反投影，该FOV中心相对于系统旋转中心的坐标

。进一步假设图像矩阵尺寸为n×n，图像矩阵中心标记为

。一个位于

的图像像素可以映射到中心为旋转中心的原始坐标系统中的一个点，根据以下等式：

(2.20)

（2.21）

由于知道如何对位于(x.y)的点进行全FOV重建的反投影，滤波投影可以按照类似于全FOV重建的方式定位、插值，并加到重建图像中。

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