Board logo

标题: 强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用(2) [打印本页]

作者: yuyang911220    时间: 2016-7-16 09:44     标题: 强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用(2)

2)奇异值:      下面谈谈奇异值分解。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法,但是它只是对方阵而言的,在现实的世界中,我们看到的大部分矩阵都不是方阵,比如说有N个学生,每个学生有M科成绩,这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是方阵,我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢?奇异值分解可以用来干这个事情,奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法
      假设A是一个N * M的矩阵,那么得到的U是一个N * N的方阵(里面的向量是正交的,U里面的向量称为左奇异向量),Σ是一个N * M的矩阵(除了对角线的元素都是0,对角线上的元素称为奇异值),V’(V的转置)是一个N * N的矩阵,里面的向量也是正交的,V里面的向量称为右奇异向量),从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片
  
      那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢?首先,我们将一个矩阵A的转置 * A,将会得到一个方阵,我们用这个方阵求特征值可以得到:    这里得到的v,就是我们上面的右奇异向量。此外我们还可以得到:
      这里的σ就是上面说的奇异值,u就是上面说的左奇异向量。奇异值σ跟特征值类似,在矩阵Σ中也是从大到小排列,而且σ的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵,这里定义一下部分奇异值分解
  
      r是一个远小于m、n的数,这样矩阵的乘法看起来像是下面的样子:
  
  
  
  
  
      右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵,在这儿,r越接近于n,则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和(在存储观点来说,矩阵面积越小,存储量就越小)要远远小于原始的矩阵A,我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A,我们存下这里的三个矩阵:U、Σ、V就好了。
  
  二、奇异值的计算:
      奇异值的计算是一个难题,是一个O(N^3)的算法。在单机的情况下当然是没问题的,matlab在一秒钟内就可以算出1000 * 1000的矩阵的所有奇异值,但是当矩阵的规模增长的时候,计算的复杂度呈3次方增长,就需要并行计算参与了。Google的吴军老师在数学之美系列谈到SVD的时候,说起Google实现了SVD的并行化算法,说这是对人类的一个贡献,但是也没有给出具体的计算规模,也没有给出太多有价值的信息。
      其实SVD还是可以用并行的方式去实现的,在解大规模的矩阵的时候,一般使用迭代的方法,当矩阵的规模很大(比如说上亿)的时候,迭代的次数也可能会上亿次,如果使用Map-Reduce框架去解,则每次Map-Reduce完成的时候,都会涉及到写文件、读文件的操作。个人猜测Google云计算体系中除了Map-Reduce以外应该还有类似于MPI的计算模型,也就是节点之间是保持通信,数据是常驻在内存中的,这种计算模型比Map-Reduce在解决迭代次数非常多的时候,要快了很多倍。
      Lanczos迭代就是一种解对称方阵部分特征值的方法(之前谈到了,解A’* A得到的对称方阵的特征值就是解A的右奇异向量),是将一个对称的方程化为一个三对角矩阵再进行求解。按网上的一些文献来看,Google应该是用这种方法去做的奇异值分解的。请见Wikipedia上面的一些引用的论文,如果理解了那些论文,也“几乎”可以做出一个SVD了。
      由于奇异值的计算是一个很枯燥,纯数学的过程,而且前人的研究成果(论文中)几乎已经把整个程序的流程图给出来了。更多的关于奇异值计算的部分,将在后面的参考文献中给出,这里不再深入,我还是focus在奇异值的应用中去。
  
  三、奇异值与主成分分析(PCA):
       主成分分析在上一节里面也讲了一些,这里主要谈谈如何用SVD去解PCA的问题。PCA的问题其实是一个基的变换,使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量,我们在讲一个东西的稳定性的时候,往往说要减小方差,如果一个模型的方差很大,那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据(主要是训练数据),方差大才有意义,不然输入的数据都是同一个点,那方差就为0了,这样输入的多个数据就等同于一个数据了。以下面这张图为例子:
       这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片,上面的点表示物体运动的位置,假如我们想要用一条直线去拟合这些点,那我们会选择什么方向的线呢?当然是图上标有signal的那条线。如果我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上,最后在x轴与y轴上得到的方差是相似的(因为这些点的趋势是在45度左右的方向,所以投影到x轴或者y轴上都是类似的),如果我们使用原来的xy坐标系去看这些点,容易看不出来这些点真正的方向是什么。但是如果我们进行坐标系的变化,横轴变成了signal的方向,纵轴变成了noise的方向,则就很容易发现什么方向的方差大,什么方向的方差小了。
      一般来说,方差大的方向是信号的方向,方差小的方向是噪声的方向,我们在数据挖掘中或者数字信号处理中,往往要提高信号与噪声的比例,也就是信噪比。对上图来说,如果我们只保留signal方向的数据,也可以对原数据进行不错的近似了。
      PCA的全部工作简单点说,就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴,第一个轴是使得方差最大的,第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的,第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的,这样假设在N维空间中,我们可以找到N个这样的坐标轴,我们取前r个去近似这个空间,这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了,但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。
      还是假设我们矩阵每一行表示一个样本,每一列表示一个feature,用矩阵的语言来表示,将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化,P就是一个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间,在空间中就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。
  
      而将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵,这样就会使得本来有n个feature的,变成了有r个feature了(r < n),这r个其实就是对n个feature的一种提炼,我们就把这个称为feature的压缩。用数学语言表示就是:
      但是这个怎么和SVD扯上关系呢?之前谈到,SVD得出的奇异向量也是从奇异值由大到小排列的,按PCA的观点来看,就是方差最大的坐标轴就是第一个奇异向量,方差次大的坐标轴就是第二个奇异向量…我们回忆一下之前得到的SVD式子:
       在矩阵的两边同时乘上一个矩阵V,由于V是一个正交的矩阵,所以V转置乘以V得到单位阵I,所以可以化成后面的式子
       将后面的式子与A * P那个m * n的矩阵变换为m * r的矩阵的式子对照看看,在这里,其实V就是P,也就是一个变化的向量。这里是将一个m * n 的矩阵压缩到一个m * r的矩阵,也就是对列进行压缩,如果我们想对行进行压缩(在PCA的观点下,对行进行压缩可以理解为,将一些相似的sample合并在一起,或者将一些没有太大价值的sample去掉)怎么办呢?同样我们写出一个通用的行压缩例子:
      这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了,对SVD来说也是一样的,我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U'
      这样我们就得到了对行进行压缩的式子。可以看出,其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装,如果我们实现了SVD,那也就实现了PCA了,而且更好的地方是,有了SVD,我们就可以得到两个方向的PCA,如果我们对A’A进行特征值的分解,只能得到一个方向的PCA。
  
  四、奇异值与潜在语义索引LSI:
       潜在语义索引(Latent Semantic Indexing)与PCA不太一样,至少不是实现了SVD就可以直接用的,不过LSI也是一个严重依赖于SVD的算法,之前吴军老师在矩阵计算与文本处理中的分类问题中谈到:
      “三个矩阵有非常清楚的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词,其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性(或者说相关性),数值越大越相关。最后一个矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章,其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性。中间的矩阵则表示类词和文章雷之间的相关性。因此,我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解,w 我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类。(同时得到每类文章和每类词的相关性)。”




欢迎光临 电子技术论坛_中国专业的电子工程师学习交流社区-中电网技术论坛 (http://bbs.eccn.com/) Powered by Discuz! 7.0.0