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标题: 优先队列——二项队列（binominal queue）（1） [打印本页]

作者: yuyang911220 时间: 2016-8-13 17:07 标题: 优先队列——二项队列（binominal queue）（1）

转自http://www.cnblogs.com/pacoson/p/5151886.html
【1】二项队列相关1.0）Attention： 二项队列中不允许有高度相同的二项树存在该队列中；
1.1）problem+solution：

1.1.1）problem：虽然左式堆和斜堆每次操作花费O（logN）时间，这有效地支持了合并，插入和deleteMin，但还是有改进的余地，因为我们知道，二叉堆以每次操作花费常数平均时间支持插入。
1.1.2）solution： 二项队列支持所有这三种操作（merge + insert + deleteMin），每次操作的最坏情形运行时间为O（logN），而插入操作平均花费常数时间； （干货——优先队列的三种基本操作——merge + insert + deleteMin）

1.2）相关定义

1.2.1）二项队列定义： 二项队列不同于我们看到的所有优先队列的实现之处在于，一个二项队列不是一颗堆序的树，而是堆序树的集合，称为森林；（干货——二项队列的定义和构成，二项队列是二项树的集合，而二项树是一颗堆序树）
1.2.2）二项树定义： 堆序树中的每一颗都是有约束的形式。 （干货——二项树的定义）
1.2.3）二项树的构成：每一个高度上至多存在一颗二项树，高度为0的二项树是一颗单节点树；高度为k 的二项树Bk 通过将一颗二项树 Bk-1 附接到另一颗二项树Bk-1 的根上而构成；（干货——二项树的构成）

对上图的分析（Analysis）：

A1）二项树的性质：
- A1.1）从图中看到，二项树Bk 由一个带有儿子B0， B1， …, Bk-1的根组成；
- A1.2）高度为k 的二项树恰好有2^k 个节点；
- A1.3） 而在深度d 的节点数是二项系数。
A2）如果我们把堆序添加到二项树上，并允许任意高度上最多有一颗二项树，那么我们能够用二项树的集合唯一地表示任意大小的优先队列；

【2】二项队列操作（merge + insert + deleteMin）2.1）合并操作（merge） （干货——合并操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树，如果有的话将它们merge）

step1） H1 没有高度为0的二项树而H2有，所以将H2中高度为0的二项树直接作为H3的一部分；（直接的意思==中间不需要merge）；
step2） H1 和 H2 中都有高度为1的二项树，将它们进行merge，得到高度为2的二项树（根为12）；
step3）现在存在三颗高度为2的二项树（根分别为12， 14， 23），将其中两个进行merge（如merge根为12 和根为14 的二项树），得到高度为3的二项树；
step4）所以，最后，我们得到二项队列，其集合包括：高度为０的二项树（根为13），高度为1的二项树（根为23），高度为3的二项树（高度为12）；

Attention）

A1）显然，merge操作是按照高度升序依次进行的；
A2）最后得到的二项队列不存在高度相同的二项树，即使存在，也要将高度相同的二项树进行merge；
A3）二项队里中的二项树的高度不必囊括所有的升序实数，即不必一定是0， 1， 2， 3，4 等等；也可以是0， 1， 3 等；
A4）单节点树的高度为0； （干货——树高度从零起跳）

2.2）插入操作（insert） （干货——insert操作是merge操作的特例，而merge操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树，如果有的话将它们merge）

2.2.1）插入操作实际上： 就是特殊情形的合并，我们只需要创建一颗单节点树并执行一次merge；
2.2.2）更准确地说： 如果元素将要插入的那个优先队列中不存在的最小的二项树是Bi，那么运行时间与 i + 1 成正比；

对上图的分析（Analysis）：

A1） 4 插入之后，与B0（根为3）进行merge，得到一颗高度为1的树B1’（根为3）；
A2）将B1’ 与 B1（根为1）进行merge 得到高度为2 的树B2’（根为1），它是新的优先队列；
A3）在插入7之后的下一次插入又是一个坏情形，因为需要三次merge操作；

2.3）删除最小值操作（deleteMin）

step1）找出一颗具有最小根的二项树来完成，令该树为Bk，令原始序列为H；
step2）从H中除去Bk，形成新的二项队列H’；
step3）再除去Bk的根，得到一些二项树B0, B1， …, Bk-1，它们共同形成优先队列H”；
step4） 合并H’ 和 H” ，操作结束；

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