标题:
Dijkstra算法（单源最短路径）
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作者:
yuyang911220
时间:
2016-8-20 20:02
标题:
Dijkstra算法（单源最短路径）
作者：
海子
出处：
http://www.cnblogs.com/dolphin0520/
单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist
+matrix
[j]}。根据这种思路，
假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist
记录V0到i的最短距离，path
记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist
值最小的顶点i，将i加入到U中；
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist
+matrix
[j]})
3.知道U=V，停止。
代码实现:
[url=]
[/url]
/*
Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26
*/
#include
<iostream>
#include
<stack>
#define
M 100
#define
N 100
using
namespace
std;typedef
struct
node{
int
matrix[N][M];
//
邻接矩阵
int
n;
//
顶点数
int
e;
//
边数
}MGraph;
void
DijkstraPath(MGraph g,
int
*dist,
int
*path,
int
v0)
//
v0表示源顶点
{
int
i,j,k;
bool
*visited=(
bool
*)malloc(
sizeof
(
bool
)*
g.n);
for
(i=
0
;i<g.n;i++)
//
初始化
{
if
(g.matrix[v0]
>
0
&&i!=
v0) { dist
=
g.matrix[v0]
; path
=v0;
//
path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
}
else
{ dist
=INT_MAX;
//
若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
path
=-
1
; } visited
=
false
; path[v0]
=
v0; dist[v0]
=
0
; } visited[v0]
=
true
;
for
(i=
1
;i<g.n;i++)
//
循环扩展n-1次
{
int
min=
INT_MAX;
int
u;
for
(j=
0
;j<g.n;j++)
//
寻找未被扩展的权值最小的顶点
{
if
(visited[j]==
false
&&dist[j]<
min) { min
=
dist[j]; u
=
j; } } visited
=
true
;
for
(k=
0
;k<g.n;k++)
//
更新dist数组的值和路径的值
{
if
(visited[k]==
false
&&g.matrix
[k]>
0
&&min+g.matrix
[k]<
dist[k]) { dist[k]
=min+
g.matrix
[k]; path[k]
=
u; } } } }
void
showPath(
int
*path,
int
v,
int
v0)
//
打印最短路径上的各个顶点
{ stack
<
int
>
s;
int
u=
v;
while
(v!=
v0) { s.push(v); v
=
path[v]; } s.push(v);
while
(!
s.empty()) { cout
<<s.top()<<
"
"
; s.pop(); }}
int
main(
int
argc,
char
*
argv[]){
int
n,e;
//
表示输入的顶点数和边数
while
(cin>>n>>e&&e!=
0
) {
int
i,j;
int
s,t,w;
//
表示存在一条边s->t,权值为w
MGraph g;
int
v0;
int
*dist=(
int
*)malloc(
sizeof
(
int
)*
n);
int
*path=(
int
*)malloc(
sizeof
(
int
)*
n);
for
(i=
0
;i<N;i++
)
for
(j=
0
;j<M;j++
) g.matrix
[j]
=
0
; g.n
=
n; g.e
=
e;
for
(i=
0
;i<e;i++
) { cin
>>s>>t>>
w; g.matrix[s][t]
=
w; } cin
>>v0;
//
输入源顶点
DijkstraPath(g,dist,path,v0);
for
(i=
0
;i<n;i++
) {
if
(i!=
v0) { showPath(path,i,v0); cout
<<dist
<<
endl; } } }
return
0
;}
[url=]
[/url]
测试数据：
作者:
yuchengze
时间:
2016-8-21 14:55
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[/url][/url]