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标题: 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) [打印本页]

作者: yuyang911220    时间: 2016-8-20 20:53     标题: 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法,三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式,介绍一下三次样条插值的原理,并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点

  1.1 定义样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点,共有n个区间,三次样条方程满足以下条件:
a. 在每个分段区间 (i = 0, 1, …, n-1,x递增), 都是一个三次多项式。
b. 满足 (i = 0, 1, …, n )
c. ,导数 ,二阶导数 在[a, b]区间都是连续的,即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作:
,i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性(自然边界,固定边界,非节点边界)
根据定点,求出每段样条曲线方程中的系数,即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性:
, 其中 i = 0, 1, …, n-1
微分连续性:
, 其中 i = 0, 1, …, n-2
样条曲线的微分式:


将步长 带入样条曲线的条件:
a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出

由此可得:

d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出


,则
a. 可写为:
,推出

b. 将ci, di带入 可得:

c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得:

端点条件由i的取值范围可知,共有n-1个公式, 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组,还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的,3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力,即 。具体表示为
则要求解的方程组可写为:

作者: yuchengze    时间: 2016-8-21 12:27

很好的算法分析,很有启发性,感谢楼主的分享




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