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标题: 压缩感知介绍 [打印本页]

作者: look_w 时间: 2017-9-23 15:18 标题: 压缩感知介绍

压缩感知介绍压缩感知（Compressive Sensing，CS），有时也叫成Compressive Sampling。相对于传统的奈奎斯特采样定理——要求采样频率必须是信号最高频率的两倍或两倍以上（这就要求信号是带限信号，通常在采样前使用低通滤波器使信号带限），压缩感知则利用数据的冗余特性，只采集少量的样本还原原始数据。
这所谓的冗余特性，借助MLSS2014马毅老师的课件上的例子来说明，

因为自然界的数据都存在局部低维结构、周期性、对称性等，因此，传统的固定采样率的采样方法必然存在信息冗余。由于信息冗余的存在，我们就知道有数据压缩那么一门学科。既然这样，为什么要把冗余的数据也采进来，再进行压缩呢，能不能不把冗余的数据采集进来？
压缩感知的思路就是：在采集的过程中就对数据进行了压缩，而且这种压缩能保证不失真（低失真）的恢复原始数据，这与传统的先2倍频率采集信号→存储→再压缩的方式不同，可以降低采集信号的存储空间和计算量。
好了，那么就来了解一下压缩感知的具体模型。
1. 稀疏表示使用压缩感知理论首先要求信号能表示为稀疏信号，如x=[1 0 0 0 1 0]，其中只有2个1，可认为是稀疏的。我们将信号通过一个矩阵映射到稀疏空间，

设信号x为N维，即

，则

为NxN维稀疏表达矩阵，s即是将x进行稀疏表示后的Nx1维向量，其中大部分元素值为0。稀疏表示的原理就是通过线性空间映射，将信号在稀疏空间进行表示。
比如，信号

在时域是非稀疏的，但做傅里叶变换表示成频域后，只有少数几个点为非0（如下图）。则该信号的时域空间为非稀疏，频域空间为稀疏空间，

组成的矩阵。

一般为正交矩阵。

若稀疏表示后的结果s中只有k个值不为0，则称x的稀疏表示为k-Sparse。上图对x的频域稀疏表示就是2-Sparse。
2. 感知测量压缩感知的目的是在采集信号时就对数据进行压缩，大牛们的思路集中到了数据采集上——既然要压缩，还不如就从大量的传感器中只使用其中很少的一部分传感器，采集少量的冗余度低的数据。这就是感知测量的通俗的说法，用表达式表示

其中的x就是稀疏表示中的信号，

为MxN维的感知矩阵（M表示测量信号的维度），y则表示M（M远小于N才有意义）个传感器的直接测量，因此维度为Mx1。
将稀疏表示过程和感知测量过程综合起来：

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