需要进行变换的地方 从电信到图像处理、雷达和声纳，难以想象有比傅里叶变换更强大、更适合并可实现FPGA中的分析技术。实际上DFT是最常用FPGA应用之一(即，生产有限输入响应(FIR)滤波器系数)的基础(参阅赛灵思中国通讯第43期《数字滤波器设计与实现详情》)。
但其用途不局限于滤波。DFT和IDFT还可用于电信处理中，用于执行电信通道的信道化和重组。在频谱监测应用中，它们可用来判断监测带宽内的频率构成。在图像处理中，它们用于处理图像卷积，供滤波器内核开展图像模式识别等操作。所有这些应用在实现过程中一般使用比上文介绍的更有效的算法来计算DFT。
总而言之，了解DFT并将其实现在FPGA中是每个FPGA开发人员的必备技能。
基于FPGA的实现方式
上文介绍的DFT和IDFT的实现一般采用嵌套循环，每个循环完成N次计算。因此实现DFT计算所需的时间为：
DFTtime = N * N * Kd ft
其中，Kdft表示完成每次迭代的处理时间。显然这种方法实现起来极为耗时。为此FPGA中实现DFT一般使用快速傅里叶变换算法(FFT)。FFT常常被称为我们时代最重要的算法，因为它对许多行业都产生根本性的影响。
FFT与DFT算法稍有不同，它计算的是复数DFT，即它需要实时域信号和虚时域信号，得到的结果的宽度是n位而非n/2位。这意味着如果需要计算实DFT，必须首先把虚部设为0，然后把时域信号转移到实部。如果要在赛灵思FPGA实现FFT，可以有两种选择。您可以使用您选择的HDL重新编写FFT，也可以使用Vivado®设计套件IP Catalog或其他来源提供的FFT IP。除非有不得已的原因不能使用IP，为缩短开发时间，一般都应该选择IP。
FFT的基本方法是将时域信号分解为一系列单点时域信号。因为样本被重新排序，这个过程常被称为位反转。如果没有位反转算法这一捷径可走，那么创建单点时域信号的级数可以用Log2 N计算得到，其中，N表示位数。
随后使用这些单点时域信号计算每个点的频谱。这一计算相当简单，因为频谱与单点的时域相等。
这些单频点的重组是FFT算法最复杂环节。必须每一级重组一次这些频点，恰好是时域分解的反向操作。因此要重建频谱需要Log2 N级，这里就是著名的蝶形FFT发挥作用的地方。
与DFT的执行时间相比，FFT用时为：
FFTtime = K f ft * N Log2 N
与计算DFT相比，执行时间明显缩短。
在FPGA中实现FFT算法时，还必须考虑FFT采样数。FFT采样数将决定本底噪声，在此之下将无法再看到有用信号。FFT采样数还将决定频点之间的间距。使用下面的公式可以确定FFT采样数：
其中，n为时域中量化位的数量，FFTSize为FFT采样数。对基于FPGA的设计，这一般是2的幂，如256、512、1,024等。频点可采用下列公式计算出其等间隔：
举个非常简单的例子，在采样频率(FS)为100 MHz的情况下，使用128个FFT样本可实现0.39 Hz的频率精度。这意味着如果频率彼此之间的间隔小于0.39 Hz将无法分辨。
高速采样
许多FPGA中的FFT应用和较高性能的系统都工作在非常高的频率下。高频运行会产生自己特有的设计难题。
因为在高频下无法维持奈奎斯特采样率(每个周期两个样本)，因此需要不同的方法。例如使用2.5 GHz采样率采样3 GHz全功率带宽模拟输入。运用奈奎斯特频率法则，高于1.25 GHz的信号将被混叠到有用的第一个奈奎斯特域中。这些混叠镜像将成为基本信号的谐波分量，因此包含与非混叠信号相同的信息，如图2所示。
图2 - 奈奎斯特域与混叠
要判断得到的谐波或谐波成分的频率布局，可使用下列算法：
Fharm = N × Ffund
IF (Fharm = Odd Nyquist Zone)
Floc = Fharm Mod Ffund
Else
Floc = Ffund-(Fharm Mod Ffund)
End
其中，N表示有用谐波的整数。
继续前述例子，如果采样率为2,500 MHz，基频为1,807 MHz，则会在第一奈奎斯特域中产生693 MHz的谐波成分，供在FFT中进一步处理。
在掌握了频谱的基本知识之后，下一个需要考虑的关键因素是如何将这些ADC和DAC器件与FPGA连接在一起。在上面所述的实例中，，无法从ADC接收频率为采样频率一半(采样率为2.5 Gbps)的数据。为此，高性能数据转换器使用多路复用的数字输入输出，该输入输出工作在较低频率下，一般为转换器的采样频率的四分之一或二分之一(即FS/4或 FS/2)。
FPGA通过多个数据流接收到数据后，如果希望执行DFT，那么下一个要解决的问题就是如何在FPGA内处理数据。包括电信和射电天文在内的多种应用常用的方法是使用重组或分解FFT结构(如图3所示)。
图3 - 分解与重组FFT结构
虽然这种应用与直接FFT相比更复杂，使用这种方法能够实现高速处理。
正您所见，在频域中工作并非像最初想象的那样困难，特别是有IP模块帮助转入转出频域的情况下。此外还有多种方法可供选择，帮助您实现高速处理。 |
