第0节、引例
本文以Fisher的Iris数据集作为神经网络程序的测试数据集。Iris数据集可以在http://en.wikipedia.org/wiki/Iris_flower_data_set 找到。这里简要介绍一下Iris数据集：
有一批Iris花，已知这批Iris花可分为3个品种，现需要对其进行分类。不同品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度会有差异。我们现有一批已知品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度的数据。
一种解决方法是用已有的数据训练一个神经网络用作分类器。
如果你只想用C#或Matlab快速实现神经网络来解决你手头上的问题，或者已经了解神经网络基本原理，请直接跳到第二节——神经网络实现。
第一节、神经网络基本原理
1. 人工神经元( Artificial Neuron )模型
人工神经元是神经网络的基本元素，其原理可以用下图表示：
图1. 人工神经元模型
图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号，wij表示表示从神经元j到神经元i的连接权值，θ表示一个阈值 ( threshold )，或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为：
图中 yi表示神经元i的输出，函数f称为激活函数 ( Activation Function )或转移函数 ( Transfer Function ) ，net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0，则上面的式子可以简化为：
若用X表示输入向量，用W表示权重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ] 
则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式：
若神经元的净激活net为正，称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire)，若净激活net为负，则称神经元处于抑制状态。
图1中的这种“阈值加权和”的神经元模型称为M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )。
2. 常用激活函数
激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节，下面简要介绍常用的激活函数。
(1) 线性函数 ( Liner Function )
(2) 斜面函数 ( Ramp Function )
(3) 阈值函数 ( Threshold Function )
以上3个激活函数都属于线性函数，下面介绍两个常用的非线性激活函数。
(4) S形函数 ( Sigmoid Function )
该函数的导函数：
(5) 双极S形函数
该函数的导函数： 
S形函数与双极S形函数的图像如下：
图3. S形函数与双极S形函数图像 双极S形函数与S形函数主要区别在于函数的值域，双极S形函数值域是(-1,1)，而S形函数值域是(0,1)。
由于S形函数与双极S形函数都是可导的(导函数是连续函数)，因此适合用在BP神经网络中。（BP算法要求激活函数可导）
3. 神经网络模型
神经网络是由大量的神经元互联而构成的网络。根据网络中神经元的互联方式，常见网络结构主要可以分为下面３类：
(1) 前馈神经网络 ( Feedforward Neural Networks )
前馈网络也称前向网络。这种网络只在训练过程会有反馈信号，而在分类过程中数据只能向前传送，直到到达输出层，层间没有向后的反馈信号，因此被称为前馈网络。感知机( perceptron)与BP神经网络就属于前馈网络。
图4 中是一个3层的前馈神经网络，其中第一层是输入单元，第二层称为隐含层，第三层称为输出层（输入单元不是神经元，因此图中有2层神经元）。
图4. 前馈神经网络
对于一个3层的前馈神经网络N，若用X表示网络的输入向量，W1~W3表示网络各层的连接权向量，F1~F3表示神经网络3层的激活函数。
那么神经网络的第一层神经元的输出为：
O1 = F1( XW1 ) 第二层的输出为： O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 ) 输出层的输出为： O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 ) 若激活函数F1~F3都选用线性函数，那么神经网络的输出O3将是输入X的线性函数。因此，若要做高次函数的逼近就应该选用适当的非线性函数作为激活函数。 | 
