散列表的概念
注意：
①由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表，其平均查找长度是不相同的。
②散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数，而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。
通过链接法解决冲突：成功查找的期望查找长度O(1+a), 不成功查找的平均查找长度也为O(1+a)。
开放寻址解决冲突：引入探查序列，对于a<1的开放寻址，成功查找的平均查找长度1/a(1+ln(1/(1-a)); 不成功的查找长度为1/(1-a)
③ α的取值
α越小，产生冲突的机会就小，但α过小，空间的浪费就过多。只要α选择合适，散列表上的平均查找长度就是一个常数，即散列表上查找的平均时间为O(1)。
④ 散列法与其他查找方法的区别
除散列法外，其他查找方法有共同特征为：均是建立在比较关键字的基础上。
其中顺序查找平均时间为O(n)；
其余的查找均是对有序集合的查找，每次关键字的比较有"="、"<"和">"三种可能，且每次比较后均能缩小下次的查找范围，故查找速度更快，其平均时间为O(lgn)。
而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法，其查找的期望时间为O(1)。
1、散列表
设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中：
① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
② T为散列表(Hash Table)。
③ h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)
3、散列表的冲突现象
（1）冲突
两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。
【例】上图中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的结点的存储地址相同。
（2）安全避免冲突的条件
最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点必须满足两个条件：
①其一是|U|≤m
②其二是选择合适的散列函数。
这只适用于|U|较小，且关键字均事先已知的情况，此时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突。
（3）冲突不可能完全避免
通常情况下，h是一个压缩映像。虽然|K|≤m，但|U|>m，故无论怎样设计h，也不可能完全避免冲突。因此，只能在设计h时尽可能使冲突最少。同时还需要确定解决冲突的方法，使发生冲突的同义词能够存储到表中。
（4）影响冲突的因素
冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。
设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。
散列函数的构造方法
1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。
简单指散列函数的计算简单快速；
均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。
2、常用散列函数
为简单起见，假定关键字是定义在自然数集合上。
（1）平方取中法
具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。
【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得
(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)
若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
(100，121，201，020，123)。
相应的散列函数用C实现很简单：
int Hash(int key){ //假设key是4位整数
key*=key； key/=100； //先求平方值，后去掉末尾的两位数
return key％1000； //取中间三位数作为散列地址返回
}
（2）除余法
该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m
该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数。
【例】若选m是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。
【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。
（3）相乘取整法
该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0 
该方法最大的优点是选取m不再像除余法那样关键。比如，完全可选择它是2的整数次幂。虽然该方法对任何A的值都适用，但对某些值效果会更好。Knuth建议选取
该函数的C代码为：
int Hash(int key){
double d=key *A； //不妨设A和m已有定义
return (int)(m*(d-(int)d))；//(int)表示强制转换后面的表达式为整数
}
（4）随机数法
选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即
h(key)=random(key)
其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。
处理冲突的方法
通常有两类方法处理冲突：开放定址(Open Addressing)法和拉链(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中；后者通常是将互为同义词的结点链成一个单链表，而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。
1、开放定址法
（1）开放地址法解决冲突的方法
用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。
注意：
①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
②空单元的表示与具体的应用相关。
【例】关键字均为非负数时，可用"-1"来表示空单元，而关键字为字符串时，空单元应是空串。
总之：应该用一个不会出现的关键字来表示空单元。
（2）开放地址法的一般形式
开放定址法的一般形式为： hi=(h(key)+di)％m 1≤i≤m-1
其中：
①h(key)为散列函数，di为增量序列，m为表长。
②h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是hl，h2，…，hm-1，即h(key)，hl，h2，…，hm-1形成了一个探查序列。
③若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d0=0，则h0=h(key)，则有：
hi=(h(key)+di)％m 0≤i≤m-1
探查序列可简记为hi(0≤i≤m-1)。
（3）开放地址法堆装填因子的要求
开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。
（4）形成探测序列的方法
按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、二次探查法、双重散列法等。 |
