小波的分类
作为一个小波的函数 ，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波形成的 是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望 有高阶的消失矩，希望与 相关的滤波器具有线性相位，等等。根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。第一类是所谓地“经典小波”，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由 Cohen，Daubechies构造的双正交小波。经典类小波又可以分为Haar小波、Morlet小波、 Mexican hat小波、Gaussian小波；正交小波又可以分为Daubechies小波、对称小波、Coiflets小波、 Meyer小波；以及双正交小波。
5.6小波研究发展趋势
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量
子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
(1) 小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的
研究与生物医学方面。
http://bcont.cuc.edu.cn/iip/kcnr/dssij.html
http://bcont.cuc.edu.cn/iip/kcnr/kcnr.html
对于双通道滤波器组来说，不管他们是一维还是两维，除了不连续的Harr小波，没有一个是可以同时具有对称 (线性相位)、紧支(FIR)和正交特性的[3]。然而，滤波器的对称性（线性相位）可以保证输入信号所导致的相位延迟不会造成其波形的失真；正交小波滤波器具有保持能量的优点，即具有正交性的线性系统输入和输出的能量相同；FIR滤波器实现不会引起截断误差，所以在实际的信号处理过程中，需要滤波器具有上述三个特性，这必然要求牺牲其中的某个特性。本文提出一种方法，在保证滤波器是对称的FIR滤波器的同时，使得它与正交性的偏差可以小于任意给定的ε。其基本思路是：对于一个给定的对称滤波器，在混叠频率处放置多个零点，使其与正交滤波器之间的偏差最小,从而获得准正交滤波器组。由于放置了多个零点，那么从最小化滤波器中可以产生一个尺度函数, 从而可以构造可准确重建的半正交小波滤波器组。对于这个半正交滤波器组，其小波函数在不同尺度进行的整数倍平移是完全正交的，而在同一尺度上不同整数倍平移是准正交的。半正交滤波器组非常接近准正交滤波器组，而且它能够通过相应的准正交滤波器组实现，准正交滤波器组中的每一个滤波器都是相应的半正交滤波器组的一个很好的近似实现。
一维与二维准正交对称小波滤波器组的分析与设计
姓名 孟彦杰
院系 北京大学信息科学技术学院 微电子学与固体电子学专业
学位类型 硕士
第一导师姓名 张天义 北京大学信息科学技术学院
第二导师姓名 赵勇 北京大学深圳研究生院
本人用小波作故障诊断，并进行一些调和分析研究。由于正交小波不能同时满足紧支集、连续性和对称性，尤其是不满足对称性使得信号处理时造成相位失真，故需要放宽正交条件来构造双正交小波（对偶正交基）。请问对称性与相位失真什么关系？为什么双正交就能消除相位失真？
你提到的对称确实是这样的
“小波的线性相位除了在信号重构时能保证重构信号不失真外,对突变信号时
刻准确地定位也要求小波具有线性相位。”
“一次Gauss_H小波（反对称小波）和二次B样条小波（对称小波）对突变点的定位
优于DB4小波，这是由于DB4小波不具有线性相位的原因。因此定位时应选择对称
或反对称小波，它的线性相位保证了对暂态信号定位的准确性”
因为只是拿来当作工具来用
我很少对小波的数学原理有过多了解
小波基选择及其优化
http://202.96.31.71:85/~kjqk/zzgxyxb/zzgx2003/0305pdf/030510.pdf
在利用小波变换方法对信号进行处理的过程中，小波基函数的选择十分重要，利用不同小波基函数对信号进行分解，可以突出不同特点的信号特征。在小波基函数的选择中Daubechies小波是紧支正交基，满足精确重建条件，但由于紧支小波不具有对称性，因而其边界效应会随尺度的增加而扩大，引起分解及重建误差。样条小波是一种非紧支正交的对称小波，具有较高的光滑性，频率特性好，分频能力强，频带相干小，且具有线性相位特性，由于对称性原因，只要采取合理的延拓方法，其边界效应引起的误差可忽略不计。因此在本文心电信号的分解及合成中选择了样条小波作为小波基函数。虽然非紧支小波会形成无限长滤波器，截断误差的产生是不可避免的，只要根据信号的特点及计算的复杂程度选择合适的滤波器长度，即可满足不同信号处理的要求。通常样条小波阶数越低，时域内衰减越快，但频域内截止性较差，阶数高，结果则相反。
http://www.hudong.com/wiki/基线拟合?prd=citiao_right_xiangguancitiao
双正交小波
双正交小波可以同时具备紧支撑、高消失矩和对称性，其构造理论得到了人们的广泛重视和研究。
基本概况
小波分析是纯粹数学和应用数学的完美结合，理论上它是刻画函数空间与研究算子作用的重要 方法，它的产生、发展和应用始终受益于计算机科学、信号处理、图像处理、应用数学和纯粹数学、等众多科学研究领域专家学者和工程师们的共同努力。
历史发展
1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条的双正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数； 1992年，Daubechies等人提出了具有紧支撑的双正交小波基； . 1992年，A Cohen等人又构造了具有线性相位的双正交小波，使小波分析更适用于信号处理； 1994年12月，Sweldens Wim提出了不依靠傅里叶变换，而运用提升算法构造的双正交小波(称之为第二代小波)变换； 1996年，SweldenS从一个全新的视角来讨论紧支集双正交小波函数的构造，提出了一种上升型方案。[1]
主要分类
双正交小波构造方法可大致分为两类：频谱分解和提升格式。传统的双正交小波构造方法基于频谱分解，其中有代表性的是Cohen等人提出的CDF方法。通过预先指定小波及其对偶的消失矩，再对相应的三角多项式进行频谱分解，他们构造出双正交样条小波(Biorthogonal Spline Wavelet,BSW)系列以及无理数系数的CDF9-7，CDF11-9等小波。然而，该类方法构造过程复杂、不易推广，且在构造高消失矩小波时需要分解高阶三角多项，这并不是一个平凡的数学过程。
构造方法
提升格式是一种完全基于时域的双正交小波构造方法，与频谱分解方法相比，,提升格式有固定的小波构造公式，其不仅简单易于理解，具有通用性和灵活性，而且有高效的小波变换实现方式。基于提升格式的小波理论与应用迅速吸引了众多专家的密切关注。具体到双正交小波构造方面：Sweldens给出了 Deslauriers-Dubuc小波(D-DW)系列的提升构造过程。Li等人研究了提升格式与消失矩的关系，提出从任意小波出发，构造具有任意消失矩小波的方法。Cheng等人提出了和CDF9-7、CDF11-小波具有相同支撑长度双正交小波的提升构造算法，Averbuch和Zheludev从插值样条函数出发利用提升格式构造了部分D-DW和一系列IIR双正交小波.，He研究了样条类型小波构造，并指出部分高消失距BSW可通过相应的低消失矩BSW一步提升构造。[2]
主要优点
小波分析是纯粹数学和应用数学的完美结合，理论上它是刻画函数空间与研究算子作用的重要方法，它的产生、发展和应用始终受益于计算机科学、信号处理、图像处理、应用数学和纯粹数学、等众多科学研究领域专家学者和工程师们的共同努力。 |
