CT图像重建算法的FPGA实现之五 滤波器, 带宽, 投影

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             图2.1 有限带宽斜变滤波器的频率表示

注意，投影以间隔采样。根据卷积理论，等式(2.9)可以写为

     (2.17)

其中是满足条件的值。这里，我们利用被扫描物体具有有限空间紧支集这一事实。在滤波投影的离散实现时，我们只对在整数倍处的滤波数值感兴趣。把代入等式(2.16)中，得到

      (2.18)

滤波函数的冲激响应在图2.2中画出。在该图中，我们设。如果用表示在角度下投影的离散采样，等式(2.10)中描述的滤波投影可以表达为一个空间域卷积：

    (2.19)

                          图2.2 斜边滤波器的冲激响应

这里，我们利用了每个投影在空间上具有有限紧支集的事实。即在下标范围以外，为0.这意味着，要确定，我们只需利用在范围内的。
尽管等式(2.19)的离散卷积实现可以直接得到被滤波的投影，当N很大时，往往在频率域中执行运算效率更高[使用快速傅里叶变换(FFT)运算]。对于目前一台典型的CT扫描机，一次单独投影的采样数N接近1000.因此，我们希望得到序列的频率域形式。在有限范围内的离散傅里叶变换与等式(2.15)描述的不同，如图2.3所示。二者之间主要差别是直流成分。尽管差相当小，它对重建图像CT数准确度的影响不能忽略。

现在我们考虑循环卷积[9]的问题。等式(2.10)中描述的原始滤波运算需要一个非周期性的卷积。当这个运算在频率域中执行时，只能是周期性或循环卷积。如果直接实线前面所述的运算序列，可能产生干涉伪像。这就是所谓的卷绕(warp-around)效应，或者周期间干涉。为了避免伪像，需要在傅里叶变换和滤波运算之前为每个投影填补足够数量的零。零的最少数目必须等于初始投影采样数减1(即N-1)。

图2.3中所示斜变滤波器的特性表明，相对于低频成分，更突出强调高频成分。事实上，斜变滤波器表现有些好像微分运算符。因此，可以把滤波运算想象为一个反卷积过程，去掉了反投影产生的模糊。


图2.3 函数（实线）和有限带宽斜变滤波器傅里叶变换（虚线）的比较
在等式(2.15)中，我们采用了一个简单的矩形窗函数来限制滤波核。可以另外修改窗函数，以改变滤波器的频率响应。实际应用中，窗函数经常被作为一个工具，用来修改重建图像的噪声特性，以实现空间分辨率和图像噪声之间的折中
在许多用于数值计算和图像的高级语言软件系统中，如Matlab(The MathWorks,Natick,MA)或IDL(Research Systems,Inc,Boulder,CO),矢量或矩阵可以直接表示成变量。还可以针对矢量定义不同运算符。在这样的环境中，平行反投影的实现变得相当容易。对于每个被测投影(在数据预处理或预调理后)，投影被填补足够多的0以避免“周期间”干扰。对补零后的投影进行傅里叶变换，并且被变换的投影乘以一个滤波函数[10]。然后，对结果进行傅里叶反变换，得到一个被滤波的投影。该投影被反投影(通过“像素驱动”或“射线驱动”)到图像矩阵。为了提高空间分辨率，滤波投影经常在反投影过程之前进行预插值。在投影数据集合中对每次投影重复整个过程。图2.4显示一个流程图，描述了对于平行束投影[11]的重建过程

图2.4 平行投影重建过程的流程图

2.4 目标重建过程
医用CT的典型图像矩阵512×512。对于50cm重建FOV，每个像素尺寸大约1mm。根据Nyquist采样理论，这样的采样密度所支持的最高频率成分是5lp/cm(线对/厘米)。如果想检查具有更高空间辨率成分的解剖结构，图像像素间的采样距离必须减小。这可以通过增大重建图像矩阵尺寸或减小重建FOV来实现。增大的图像尺寸不仅影响重建速度(因为要被重建像素数与矩阵尺寸成平方关系)，而且增加存储量。
另一可选方案是减少重建FOV。因为大多数高分辨率应用只需要检查很小一个区域(如内听管或脊椎骨)，缩小的FOV不会产生限制。考虑到重建被定位到一个较小区域这个事实，该方法经常被称为“目标”或“缩放”重建。
目标重建过程类似于全FOV重建。一旦得到一个滤波投影(滤波过程和全FOV过程一致)，反投影将缩小的FOV映射到投影上去。例如，假设对一个重建FOV进行像素驱动反投影，该FOV中心相对于系统旋转中心的坐标。进一步假设图像矩阵尺寸为n×n，图像矩阵中心标记为。一个位于的图像像素可以映射到中心为旋转中心的原始坐标系统中的一个点，根据以下等式：

  (2.20)

        （2.21）

由于知道如何对位于(x.y)的点进行全FOV重建的反投影，滤波投影可以按照类似于全FOV重建的方式定位、插值，并加到重建图像中。