小波包域降噪的三种简易门限 滤波器, 切割

yuyang911220

普通线性滤波方法、小波变换，都可以被小波包处理含盖。在小波包方法中，实数滤波器序列的频谱特性是确定的；周期化，等效于频域下抽样，不改变频带；零时间点、时间反转、卷积运算、相关运算的选择可不同，只是说明幅频特性确定后相频特性的选择不是唯一的。被处理数据的下抽样，是离散变换中的牛点，它使同一数字频率对应的“模拟频率”发生了变化、频带被拉伸、转换，就使不变的数字滤波器切割频带、实现了连续变换的多尺度处理。总之，小波包分解树上，任意位置的频带是确定的、易知的，这可以指导某过渡带内系数的加权，可选择出纯噪声系数以用于估计噪声功率。然而，一般性方法的考量，宜争取不利用信号频谱的先验信息。 已知参数：零均值高斯白噪声的标准差，S。
无噪信号：完全未知，只是小波的选择可能利用了关于它的模糊的先验知识。
  门限方法1, Hard3-SD：硬门限处理，使绝对值大于3倍标准差3S的最佳基系数保持不变，其余系数被置为0。
  门限方法2,HardPower：硬门限处理，使被置为0的最佳基系数的数目越多越好，只要它们的总能量不大于噪声的能量E。S的平方是噪声功率，能量等于功率乘以时间长度。
  门限方法3,Soft Power：软门限处理，使被置为0的最佳基系数的数目越多越好，只要它们的总能量加上M*T*T(被保留项的数目M，乘以门限值T的平方)的和值等于噪声能量E。如果M等于时间长度，那么直接令重建信号等于未被分解的数据；M等于0时，直接令重建信号恒等于0。
双正交分解数据，近似地按正交分解系数对待，不用增益与范数太不协调的滤波器对(在以前的图中，当横轴为尺度滤波器编号时，只有整数才有意义，居士使用连续曲线只为方便)。
试验方法：用Scilab-5.3.3 (无小波工具箱) 编程。程序的输入量为：1. 不含噪声的原始信号X；2.尺度滤波器编号(在以前列出的100组中)；3. 增益向量NFSA (Noise-Free SignalAmplification)，指定加噪声前将原始信号放大的倍数(分贝)；4. 每一个放大后的信号的加噪声的试验次数；5.波形图对应的信号放大倍数g。
  有噪声的信号Y为：Y=U+n，U=10^(G/20)*X。G，是NFSA中的一个元素。n，是随机数函数rand生成的高斯白噪声，其标准差在试验中始终被视为1。
小波包分解深度，自动至周期长度为奇数。
小波包降噪后重建的结果，与U的误差的均方根值为RMSE(root-mean-square-error)。完成指定试验次数后，RMSE取平均。
当G=g时，将第一个噪声样本(种子为1.0e9)的软门限处理的波形，绘于图形窗的左半部。
整个试验结果，绘于图形窗的右半部。横轴为NFSA，纵轴为RMSE的倒数(分贝)，纵轴即是信噪比(SNR)的增量。每一增益值的噪声试验次数，显示在标题栏尾。
程序的输出量：NFSA-RMSE曲线图的数据，小波包设置参数。
除非特别声明，试验、小波包、门限处理等程序模块，全由居士本人完成。
结果：文末的第1图至第7图，分别是sine、blocks、bumps、heavysine、doppler、quadchirp、mishmash的结果。sine是居士以前用过的信号，其图示结果共用了1200个噪声样本，波形图对应的增益值为-5dB；其余6种，是常见的“标准”信号，用其他人的程序(wnoise.sci，HolgerNahrstaedt -2010-2012)生成以使其合标准，每一信号试验了800个噪声样本，波形图对应的增益值为15dB。七种信号，分别共耗时(tic,toc)：81、117、133、123、125、129、139秒 (用前单位提供的联想手提式电脑T61， 其处理器为x86Family 6 Model 15 Stepping 11 GenuineIntel ~2194Mhz，总的物理内存为2GB、虚拟内存为2GB)。所用的尺度滤波器分别为：91 (Symlet 31)、4 (双正交)、13(双正交)、18 (双正交)、27 (Daubechies 9)、77 (Symlet 17)、93 (Symlet 33)。
NFSA加上输入信号的功率(dB)，即是信噪比。在输入试验程序前，原始信号的标准差被归一化，所以图中的NFSA即是仅计算信号交流功率时的SNR。各信号的小波变换设置相同，用滤波器序列时间反转后的周期化右平移系，构成基向量。
  用相同的小波(Daubechies3)、软门限方法，处理6标准信号，结果同绘于第8图和第9图。可见，性能与信号和小波都有关。
  不少人用强力的Matlab平台和Dr.Donoho等的优化方法，研究小波降噪问题。Dr.Donoho的论文被引用次数之高，在工程技术论文中是罕见的。他对重建结果的光滑性的关注及优化方法，给人以深刻的印象。本文(未专门调查是否雷同)中，处理完全由噪声驱动而非信号驱动，门限与噪声能量(等价地，标准差)“恒定地联系”起来，两参数成为一个参数的问题。这个参数的估计，本身不排斥其它优化方法。
利用信号的先验知识的优化，可能是从历史中学习信号的小波包系数的统计约束，即已知某部分系数时其余部分的条件概率。
             新浪赛特居士SciteJushi-2013-07-16。

yuchengze

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