| 在小波包变换的分解与合成中，小波包序列组成了一个基底库，因此存在选择一个最优基的问题。这须要明确的代价准则，即定义某种选择的代价、代价函数。代价函数(cost function)的自变量，是信号在某个基向量组上的分解系数，实的因变量的值即是代价。代价函数，也被称为信息花费函数。这个“代价”，在Matlab的小波工具箱中，也被称为entropy（熵、平均信息量）。 《现代数学手册·计算机数学卷》(2001年2月第1版,华中科技大学出版社)在第7篇的“5.3最优基的选择”一节中，例举了门限代价、lp范数的p次幂、对数熵，它们分别对应于Matlab中的三个熵准则：threshold、norm(手册中，0< p <= 2；Matlab中，1 <= p <2)、logenergy。 Matlab使用“sure”熵，表现了一种引人注目的愿望和努力：研究针对降噪问题的特殊的代价函数。 从Matlab的文件wentropy.m中，可见“Last Revision:27-Jan-2010.”、“ Copyright 1995-2010 The MathWorks,Inc.”很长的时间可用于修正，而且小波的研究也是涉及到了多个学科的热门，但是Matlab的小波工具箱未能正确使用它自己的“shannon”、“logenergy”、“sure”熵，这很怪异。 “shannon”熵，在Matlab的小波包变换中被作为默认的选择，而在数学手册的举例中未出现。这使初试Matlab工具箱的失败，更撩人。因为，居士本人，也常用Shannon熵函数计算代价以选择小波包基，而且常直接称之为熵。这种偏向，源于在电子工程和信号处理方面的习惯，当然未必更好。 正在上面那个出版年、月里，Shannon去世。Shannon信息论、Shannon熵、Shannon采样定理、Shannon小波，都是常见的术语；也算写下了，享受着信息科技成果的人们，对天才的怀念吧！ 如果x是长度为N的能量归一化的二值序列，其中有M个正实数，有N-M个0值，那么，M越大时x的“shannon”熵就越大，M=1时达到最小值0。这看起来，符合选择小波包基的通常愿望：用尽量少的重要(非零的)分量，表达信号或信号中的重要成分。 在博文《结合移位(Cycle-Spinning)平均的小波包域降噪的程序》(2013-10-15)中，程序TDen3Signals.sci列举了设定Tpwp的最佳基准则的变量Wp.BestRule的几个取值：3、6、4，分别对应上述手册中的那三个信息花费函数；5可视为“6”在p=1时的特殊情况，它不需其余参数，也比对数运算、幂运算简单，没有奇异点，所以被特列；其它值，都表示用Shannon熵。 在Tpwp中，被调用于直接计算代价的子程序，不做数据的“取模”(abs)运算。这可能把某些自由，如《用对偶变换处理复信号的双正交小波包》(2012-11-03)的一些试验，留给调用程序。由调用程序处理必须的“取模”问题，否则lp范数的p次幂、门限代价可能不可解释，当然，在实数的处理中反而不会出现Matlab的wentropy函数的平方运算问题。
从以前关于wentropy的图片中可见，其shannon熵的计算使用了log(eps+x)。这类处理，用一个微小值，限定非负数据趋于零的程度，对付了奇异点。实际上，如果系数x1、x2都远远小于信号能量，非常接近于零，那么，它们也易受各种数字误差的影响，而且它们之间即使几个数量级的差异也并不值得细分。可以放弃通常的理论约定：“0系数”的代价值为0。“0”和1的log运算结果，可以不必再都为零，这在直观上，更“合理”。但是，Matlab中的对数熵，反而没有这种处理。“0序列”的“shannon”熵、对数熵等，在Tpwp中不必为0，在Matlab中为0。
在信号分析中，将数据能量归一化，一般是合理的。如果需要，能量因子,可以另存。
有时，可能需要去除信号均值。真正的小波系数，不包括直流成分。但是，“近似系数”会因“去均值”而受影响。处理零均值白高斯噪声序列时，不得到独立同分布的分解系数序列。
以双正交条件为立足点，把正交小波包变换、普通离散小波变换作为双正交小波包变换的特例，会使推演、应用研究更具有一般性。Matlab的帮助文档，在“Tutorial Demos Wavelet / Wavelet Packets ecomposing the Details / Wavelet Packets for Compression”部分举例，用了bior6.8的双正交小波包变换；它提到的FBI和JPEG2000运用小波变换的成功，那也涉及了双正交滤波器组CDF5/3、CDF9/7。然而，一般说来，用双正交变换时，系数不必具备能量分布的意义，而且级联可能使误差迅速增长，甚至导致不稳定，所以，通常的代价函数值可变得难以解释。对偶变换、范数调整，可带来某些改善，但并未消除问题。越接近于正交的四元滤波器组，越可能适合于小波包变换。
把下面附的两段程序，分别复制到Scilab和Matlab的命令窗中，运行得图片1.的结果。它们处理相同的五个信号，都用分解系数的模值之和为代价值时，它们得到的最佳基及其系数，如矩阵WpCoe的前5列所示，是一致；都用“shannon”熵函数时，Matlab的结果(能量累积百分比，如矩阵WpCoe的后5列所示，尤其是蓝条所示)表明，其性能更差。 附1.Scilab程序: clear; n =0:255; x5 =zeros(5,256); WpCoe =zeros(8,10);
x5(1, =0.98.^n.*cos(0.51*n)+0.97.^n.*cos(0.70*n)+0.96.^n.*cos(1.40*n);
x5(2, =0.91.^n.*cos(0.91*n)+0.93.^n.*cos(0.94*n)+0.84.^n.*cos(1.30*n);
x5(3, =0.90.^n.*cos(0.79*n)+0.93.^n.*cos(0.96*n)+0.89.^n.*cos(1.48*n);
x5(4, =0.92.^n.*cos(0.61*n)+0.83.^n.*cos(0.79*n)+0.99.^n.*cos(0.80*n);
x5(5, =0.99.^n.*cos(1.25*n)+0.91.^n.*cos(1.31*n)+0.96.^n.*cos(1.42*n);
format('v',8); load TpwpSubs.bin; load MatOrtWlts.bin;
function [xp0] = wptest0(x00,br1),
[h0,h1] =WltFilters(42); // get Daubechies-4 filter
[ph,pg,ph1,pg1] =TpwpAllGH(h0,h1,256,8,-1,1,0,0,-1); // basis vectors
[d0] =TpwpDec(x00,8,ph,-pg,1); // decomposition
[c0] = TpwpCost( abs(d0), br1,[],[]); // cost, entropy.!scaling,sign
[b0,c0] =TpwpBest(c0,8); // best basis selection
[i0] =TpwpCoeIndx(b0,8,256); // best coefficient index
xp0 =d0(i0); // return coefficients
endfunction;
for i1=1:5,
x0 =x5(i1,; x0 = x0-mean(x0(); x0 =x0/norm(x0();
[x1] =wptest0(x0,5); [x2,i2] =gsort(abs(x1(),'g');
x2 =x1(i2); WpCoe(:,i1) = round(x2(1:5:40)*1e5);
[x1] =wptest0(x0,1); x2 =x1(.^2; x2 = gsort(x2,'g');
x2 =cumsum(x2)*100; WpCoe(:,i1+5) =round(x2(1:5:40)); //percentage
end, disp(WpCoe'); 附2.Matlab程序(用于运行clc和dwtmode('per')之后): clear; n =0:255; x5 =zeros(5,256); WpCoe =zeros(8,10);
x5(1,:) =0.98.^n.*cos(0.51*n)+0.97.^n.*cos(0.70*n)+0.96.^n.*cos(1.40*n);
x5(2,:) =0.91.^n.*cos(0.91*n)+0.93.^n.*cos(0.94*n)+0.84.^n.*cos(1.30*n);
x5(3,:) =0.90.^n.*cos(0.79*n)+0.93.^n.*cos(0.96*n)+0.89.^n.*cos(1.48*n);
x5(4,:) =0.92.^n.*cos(0.61*n)+0.83.^n.*cos(0.79*n)+0.99.^n.*cos(0.80*n);
x5(5,:) =0.99.^n.*cos(1.25*n)+0.91.^n.*cos(1.31*n)+0.96.^n.*cos(1.42*n);
for i1=1:5,
x0 =x5(i1,:); x0= x0-mean(x0(:)); x0 =x0/norm(x0(:));
t1 =wpdec(x0,8,'db4','norm',1); t1 = besttree(t1);
x1 = read(t1,'data'); [~,i2] =sort(abs(x1(:)),'descend');
x2 =x1(i2); WpCoe(:,i1) = round(x2(1:5:40)*1e5);
t1 =wpdec(x0,8,'db4'); t1 =besttree(t1);
x1 = read(t1,'data'); x2 = x1(:).^2; x2 = sort(x2,'descend');
x2 = cumsum(x2)*100; WpCoe(:,i1+5) = round(x2(1:5:40));
end, disp( int2str(WpCoe')); | 
