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(一)引言
上篇结尾时讲到，我们不能偏离ic layout(或on-chip)太远。 但这是一个过程，我们最终的目的是估算出合适的尺寸，那才是版图布线的本质。考虑布线的特性阻抗、衰减、功率等因素之后才能确定出合理的走线尺寸。
适合集成的平面传输结构有：带线(strip line)、微带线(microstrip line)、共面线(coplanar line)、槽线(slot line)和鳍线(fin line)。其中微带线可分为：标准微带线(或开式)standard、屏蔽微带线shielded、悬浮微带线floating、悬置微带线Suspended、倒置微带线invert、耦合微带线paralled coupled。共面线可分为：共面波导CPW(coplanar waveguide)与共面带状线CPS(coplanar stripline)。鳍线可分为：单侧鳍线unilateral、双侧鳍线(或平行)bilateral、对踵鳍线antipodal和绝缘鳍线insulated。还查到利用硅表面起伏制作的空气带隙传输线。这些结构之间常进行互补或转换。本文重点介绍 带线、微带线及共面线。此外，我们还应注意到传输线适用范围、比如频率和电磁波模式的限制。而对于这些传输线，无论如何变化，无非就在地线、导体、介质上的变化，比如改变形状、厚度、距离等。这些传输线中，我们又把带线、微带线、共面线作为我们今后的重点。
(二)带线特性阻抗的间接方法
带线是从同轴线演变而来，可以理解带线为将地平面线从中间剖开的扁平同轴线。求解带线的特性阻抗可以转化为解决电容的问题。
传输线特性阻抗:
Z0=sqrt(L/C)=sqrt(LC)/C
C=ε*s/d
L=μ*d/s
所以:
Z0=sqrt(εμ)/C
s为导体宽度，d为介质厚度, ε为介电系数，μ 为真空磁导率, 这就说明sqrt(εμ)相对常数，也说明传输线特性阻抗问题可以转化为解决电容的问题。
不过求解电容时，不能只求解平板电容值，难点出现在求解边缘电容上。S.B Cohn将带状线厚度t设为0，通过施瓦茨-克里斯托费尔映射(Schwarz-christoffel mapping)变换公式，将复杂的情况转换为简单的2维问题，这样通过平板电容公式即可得出结论。而H.A Wheeler通过保角变换(Conformal mapping)方法演算了有限厚度的带状线情况。因为相关资料从网络上搜索, 一般很难得到有用的相关资料，许多论文都集中在一些大型数据库中，而我们并没有条件得到，所以本篇也只能通过高校教材及免费阅读的部分资料来讨论零厚度带线电容的求解。当然除了保角变换方法外，还有其他静态分析方法及近似方法等。
(三)施瓦茨-克里斯托费尔变换
因为对称带线结构，我们可以先求解一半的电容(当然也可以求解四分之一的电容)，然后加倍即可得到全部的电容值。如(图1.a）将厚度t设为0，并放置到w平面(坐标)中（图1.b）。现在我们要做的就是，将w平面中电容右半边变换到另一个z平面的上半面中（图1.c），再将z平面的上半面变换成w'平面的矩形（图1.d）。
图（1）带线的变换
为什么要进行如此的变换？这完全是为了便于求解和符合相关公式的定义。
图（2）施瓦茨-克里斯托费尔变换
施瓦茨-克里斯托费尔映射积分形式:
该方法就是将z平面的上半面变换到w平面的多边形。
其中A影响到变换的尺寸与位置，B影响到点到W=0时的距离,(z,z0)为边界条件。
接下来的任务就是套用公式，w-->z求解到k，w'-->z求解到K和K'.
如果将公式理解为:
W=Af(x)+B
那么A就是斜率，B就是平移量.也就是说，A决定了方向，而B决定了位置。
设ζ=t为实数。对于f点在(1,+∞)之间，取1/k是为了方便计算,(0
而出现K与K'的矩形，是因为雅可比椭圆函数、雅可比矩形的关系。
W-plane:[point,φi]
a(+∞+jh,π),b(jh,π/2),c(0,π/2),d(w/2,2π),e(0,π/2),f(-jh,π/2),a'(+∞-jh,π)
Z-plane:[xi]
a(-∞),b(-1/k),c(-1),d(0),e(1),f(1/k),a'(+∞)
W'-plane:[point,φi]
a(jK',π),b(-K+jK',π/2),c(-K,π/2),d(0,π),e(K,π/2),f(K+jK',π/2),a'(jK',π)
当Wd(w/2,2π) 对应 Zd(0)时,z=z0=0,所以:
Wd=B1=w/2
当We(0,π/2)对应 Ze(1)时,z=1,z0=0:
当Wf(-jh,π/2)对应 Zf(1/k)时,z=1/k,z0=0:
现在我们来计算从Z到W'平面的变换。
当W'd(0,π) 对应 Zd(0)时,z=z0=0,所以:
W'd=B2=0
当W'e(K,π/2)对应 Ze(1)时,z=1,z0=0:
当W'f(K+jK',π/2)对应 Zf(1/k)时,z=1/k,z0=0:
那么现在计算得到的2K为转换后平板电容的宽度，K'为厚度。如果A2k=1，那么K和K'均为第一类完全椭圆积分(complete elliptic integral of the first kind)(是第一类不完全椭圆积分的特例，即幅角 (0,π/2) 或z(0，1))。雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆运算，它可以用雅可比矩形来表示，也就是说，满足第一类完全椭圆积分反推的图形才是矩形，因此也即说明了这里A2k=1。 事实上，我们将Z平面右半面转换成了右边矩形，通过施瓦茨映射原理（schwarz's mapping principle）得到一个解析延拓（analysis continuation）将与正半轴对称的左半边转换成了左边矩形，所以Z上半面被完整地映射到了整个矩形中。
C=ε*s/d=ε*4K/K'
Z0=sqrt(LC)/C=sqrt(εμ)/C
真空磁导率μ0=4πE-7 H/m , 真空电导率ε0=1/(μ0*c)=8.854E-12 F/m,光速c=3E+8 m/s
硅的介电常数εsi=ε0 F/m,二氧化硅介电常数εox=ε0 F/m
设wπ/(4h)=x
更为精确的估算公式，该公式避免了椭圆积分的计算。 |
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