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一、均匀结构无穷梯形网络模型
第一篇介说均匀传输线时说是套用了均匀结构无穷梯形网络模型公式,其基本的思路是:C点右边的阻抗等于B点右边阻抗,也等于A点右边的阻抗.这是一个很有用的概念，以至于让我摆脱了要解二阶偏微分方程的苦恼。
图(1)
Zin= Z + [(1/Y) // Zin ] (1)
Zin= Z/2 * [1+ sqrt(1+4/(Z*Y))] (2)
if |ZY|<<1, then
Zin = Z0 ≈ sqrt(Z/Y) (3)
同样
Z0 = Zdz+{[1/(Ydz)]//Z0} (4)
= Zdz+ Z0 /[1/(Ydz*Z0)]
当dz趋于零时的极限情形,可以利用1/(1+x)的一阶二项展开式
Z0 ≈Zdz + Z0[1-(Ydz)*Z0]
= Z0 + dz*[Z – Y*Z0^2]
Z0 =sqrt(Z/Y) = sqrt((R+jwL)/(G+jwC)) (5)
dz即Δz,表示线两个点之间距离.
二、传播常数
当研究传播常数时,也利用了基本思路,得到电压分压等式:
Vn+1= Vn * {[Z0//(1/(Ydz))] / [Zdz + (Z0 // (1/(Ydz)))]}
= Vn * {[Z0/(1+(Ydz))] / Z0}
= Vn * 1/[1+(Ydz*Z0)]
Vn+1/Vn = 1/[1+ (Ydz*Z0)] (6)
利用1/(1+x)展开
Vn+1/Vn = 1 – Ydz*Z0 (7)
(Vn+1-Vn)/Vn = - Ydz*Z0
∵ Z0 = sqrt(Z/Y) (8)
∴ dVn/Vn = -sqrt(Z*Y)*dz
dVn/Vn = -γ*dz (9)
两边同时积分可得
ln|Vn|+c1 = -γ*(z+c2) (10)
ln(Vn)=-γ*(z+c2)-c1
Vn = expt(e,-γ*(z+c2)-c1) (11)
V0 = expt(e,-γ*(0+c2)-c1) (12)
Vn = V0*expt(e,-γ*z) (13)
因为电压V0有两个分量相加, 入射Vin + 反射Vref. -γ*z表示正方向,γ*z表示反方向.
Vn = Vin *expt(e,-γ*z) + Vref*expt(e,γ*z) (14)
又 Z0 = Vin/Iin = Vref/(-Iref) (15)
In = Iin *expt(e,-γ*z) – Iref*expt(e,γ*z) (16)
三、亥姆霍兹方程
利用电流电压公式对z两次微分后,得到亥姆霍兹方程(helmholtz equation)如图(2),也可以得到同样的结果.
图(2)
四、有负载传输线阻抗
图(3)
ZL = (Vin+Vref) / (Iin-Iref)
= (Vin/Iin)*[(1+Vref/Vin)/(1-Vref/Vin)]
= Z0 * [(1+ГL)/(1-ГL)] (17)
ГL = (ZL-Z0)/(ZL+Z0) (18)
Гz = [Vref*expt(e,γ*z)] / [Vin*expt(e,-γ*z)]
= ГL*expt(e,2*γ*z) (19)
ZL 是负载阻抗,ГL是反射系数.增加负载后,出现反射,因而分量相加与相减得到的是负载反射系数.注意式17,隐含着长度变量z=0.所以ZL表示z=0的位置的阻抗Z(0).因而ГL =Г(0)也是z=0的反射系数.图(3)中Z=0加了标注,说明不应理解为起点在Zin的位置,而应在负载的位置.注意,加了负载后Zin不等于Z(0),除非Z=0,这一点不能与单独的传输线分析混淆起来.注意Z(0)不等于Z0,Z0仅表示特征阻抗,是一个通俗的写法.所以要得到任意点的阻抗Zz,需要进一步探讨.
归一化表示法:
~ZL = ZL/Z0 = (1+ГL)/(1-ГL) (20)
ГL = (ZL-Z0)/(ZL+Z0)= (~ZL-1)/(~ZL+1) (21)
Zz = [Vin*expt(e,-γ*z)+Vref*expt(e,γ*z)] /
[Iin*expt(e,-γ*z)-Iref*expt(e,γ*z)]
=Z0 * [1+ ГL*expt(e,-2*γ*z)]/[1- ГL*expt(e,-2*γ*z)]
=Z0 * [(~ZL+1)+(~ZL-1)*expt(e,-2*γ*z)]/[(~ZL+1)-(~ZL-1)*expt(e,-2*γ*z)]
=Z0 * [(~ZL+1)*expt(e,γ*z)+(~ZL-1)*expt(e,-γ*z)]/
[(~ZL+1)*expt(e,γ*z)-(~ZL-1)*expt(e,-γ*z)]
=Z0*{~ZL*[expt(e,γ*z)+expt(e,-γ*z)]+[expt(e,γ*z)-expt(e,-γ*z)]}/
{~ZL*[expt(e,γ*z)-expt(e,-γ*z)]+[expt(e,γ*z)+expt(e,-γ*z)]}
=Z0*[~ZL*cosh(γ*z)+sinh(γ*z)]/[~ZL*sinh(γ*z)+cosh(γ*z)]
=Z0*[~ZL+tanh(γ*z)]/[~ZL*tanh(γ*z)+1] (22)
~Zz = [~ZL+tanh(γ*z)]/[~ZL*tanh(γ*z)+1] (23)
式中sinh(x)双曲正弦=(1/2)*[e^x-e^(-x)],
cosh(x)双曲余弦=(1/2)*[e^x+e^(-x)], tanh(x)双曲正切=sinh(x)/cosh(x)
五、无损线阻抗变换
对于无损线:
γ=α+jβ = jβ, (24)
tanh(γ*z)=tanh(jβ*z)=jtan(β*z) (25)
~Zz= [~ZL+jtan(β*z)]/[~ZL*jtan(β*z)+1] (26)
Zz= Z0 * [ZL + Z0*jtan(β*z)]/[Z0 + ZL*jtan(β*z)] (27)
Zz也可以理解为长度z为的有载传输线的输入阻抗Zin.所以说Zin不等于Z(0)也不是Z0.
对于无损有载传输线:
短路时,ZL=0, Zz=Z0*jtan(β*z) (28)
开路时,ZL=∞, Zz=Z0*[ZL/(ZL*jtan(β*z)]
=Z0/jtan(β*z)
=Z0*-jcot(β*z) (29)
长度为1/2波长时,弧度为β*z=(λg/2)*(2*π/λg)=π,tan(π)趋于0.
Zz=Z0*[ZL]/[Z0]=ZL (30)
长度为1/4波长时,弧度为β*z=(λg/4)*(2*π/λg)=π/2 ,tan(π/2)趋于无穷大.
Zz=Z0*[Z0*jtan(β*z)]/[ZL*jtan(β*z)]
=Z0^2 / ZL (31)
由相位速度 Vphase= ω/β , β= 2*π/λg (32)
5.1传输线单支线串并联短截线（single shunt and series stub tuner）
图(4)
图4左为并联方式，右为串联方式。
如果是并联短路方式，则Zin=Ztl//Zso=Zs => Yin=Ytl+Ys (33)
Zin=Zs
Ztl=Z(d)=Z0 * [ZL + Z0*jtan(β*d)]/[Z0 + ZL*jtan(β*d)]
Zso=Z0*jtan(β*l)
Zs源阻抗，ZL负载阻抗，Ztl传输线短截阻抗，Zos短开路阻抗,Z0传输线特征阻抗
比如要连接ZL=100-j25Ω， Zs=25-j15Ω，传输线特征阻抗Z0=50Ω，如果是并联短路方式可以计算得到：d=0.168λg , l=0.083λg
如果是串联方式，则Zin=Ztl+Zso 也是类似的计算。
5.2传输线双支线并联短截线（double shunt stub tuner）
图(5)
双支线或多支线并联看起来复杂，但原理是相同的，只是多解几次并联。
Yin,1=Ytl,1+Ys,1
Yin,2=Ytl,2+Ys,2
Ytl,2=f(Yin,1) (34)
5.3 四分之一波长变换线
传输线取四分之一波长接入，从而影响整体阻抗的变化。
图(6)
由左31可知Zz=Z0^2 / Zl得出图6关系式:
Zin = Zl^2 /Z0 ==> Zl =sqrt(Zin*Z0) (35)
当然，还可以扩展，比如不是四分之一波长，取二分之一波长，或者取任意长度是否可行。比如不只接入一次，接入多个是否可行。接入多次又可以选择接入多个不同长度的传输线等等。
5.4 传输线变压器阻抗变换
传输线变压器是利用传输线之间互感耦合导致电流电压变化，从而达到阻抗变换的效果。常见的分类主要有：1，高频反相器；2，平衡与不平衡变换器；3，1：n阻抗变换器；4，3dB耦合器。
图(7)
图（7）介绍为4：1阻抗变换方式。互感产生方向相反等量电流I=Iin，造成负载电流是输入电流的双倍Il=I+I=2*I=2*Iin。由因为功率相等Vin*Iin = Vl*Il, Vl=Vin/2.
Rin=Vin/Iin , Rl=Vl/Il=(Vin/2)/2Iin= Vin/(4*Iin)=Rin/4, Rin=4*Rl (36)
图(8)
图（8）介绍为1：4阻抗变换方式。互感产生方向相反等量电流I=Iin/2，造成负载电流是输入电流的双倍Il=I==Iin/2。由因为功率相等Vin*Iin = Vl*Il, Vl=Vin*2.
Rin=Vin/Iin , Rl=Vl/Il=(Vin*2)/(Iin/2)= (Vin*4)/Iin=Rin*4, Rin=Rl/4 (37)
六、结尾
至此，我们已经了解到了传输线的基本概念，而且也了解到了无论是分布的传输线还是集中概念的LC元件，均可以完成阻抗变换的功能。不过，我们不会偏离IC版图相关性太远，整理传输线资料是我们继续下去的主线。接下来，我们将整理与IC版图布线较为相近的带线或微带线理论，也可能继续深入，用麦斯韦尔方程以另一个视角理解传输线理论，或许我们还有时间，搜寻有关不均匀传输线的概念。这些都是后篇中可能涉及到的一些概念。无论什么时候，网友们如发现资料中存在问题，均可以在论坛上发帖，我将给予更正或搜寻更多的相关资料进行补充。 |
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