小波变换的基本概念
基本概念，基本公式的推导：小波变换的定义。
给定一个基本函数ψ(t) ，令 （1）式中a,b均为常数，且a>0 。显然， 
是基本函数ψ(t)先作移位再作伸缩以后得到的。若a,b不断地变化，我们可得到 一族函数 。给定平方可积的信号x(t)，即 ，则x(t)的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为
式中a,b和t均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从-∞到+∞。信号x(t)的小波变换 是a和b的函数， b是时移a是尺度因子。ψ(t)又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样, （2）式的WT又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若x(t)是实信号，ψ(t)也是实的，则也是实的，反之， 为复函数。在（1）式中，b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波ψ(t)作伸缩。由ψ(t)变成  ，当a>1时，若a越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之ψ(t)变得越大，反之，当a<1时， a越小，则 的宽度越窄。这样，a和b联合越来确定了对x(t)分析的中心位置及分析的时间宽度，如图1所示。
图1 基本小波的伸缩及参数a和b对分析范围的控制 (a)基本小波，（b）b>0,a=1,(c)b不变，a=2, (d)分析范围 这样，（2）式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t)作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。（1）式中的因子 是为了保证在不同的尺度a时，始终能和母函数ψ(t)有着相同的能量，即
 令 ，则 ，这样，上式的积分即等于 。令x(t)的傅里叶变换为X(Ω)，ψ(t)的傅里叶变换为Ψ(Ω)，由傅里叶变换的性质， 的傅里叶变换为：
  （3）
由Parsevals定理，（2）式可重新表为
 （4）
此式即为小波变换的频域表达式。
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5.2小波变换的特点
从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助学生对小波变换有更深入的理解。从而得到小波变换在对信号分析时的特点，还可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系。信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结小波变换的特点可以得到结论，当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。
小波变换的计算性质
基本公式的推导：小波变换的计算性质。
以时移性质为例，用公式推导的方法证明小波变换的计算性质。
1．时移性质
若 的CWT是 ，那么 的CWT是 。该结论极易证明。记 ，则
尺度转换性质指出，当信号的时间轴按λ作伸缩时，其小波变换在a和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。微分性质、两个信号卷积的CWT、两个信号和的CWT、小波变换的内积定理。
波反变换及小波容许条件（2学时）
基本公式的推导：小波反变换及小波容许条件。根据参考资料中的相关定理。
下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。
定理：设 ，记 为 的傅里叶变换，若
则 可由其小波变换 来恢复，即
 (9.4.1)
证明：  则
将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令 ，于是有
于是定理得证。
在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以 < 为前提条件的。（9.3.9）式又称为“容许条件（admissibility condition）。该容许条件含有多层的意思：
并不是时域的任一函数 都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件是其傅里叶
变换满足该容许条件；
由（9.3.9）式可知，若 ，则必有 ，否则 必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 必然是带通函数；
由于 ，因此必有
(9.4.2)
这一结论指出， 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。
以上三条勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即 是一带通函数，它的时域波形应是
振荡的。此外，从时－频定位的角度，我们总希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。
由上述讨论， 自然应和一般的窗函数一样满足：
 (9.4.3)
由后面的讨论可知，尺度 常按 来离散化， .由（9.1.3）式，对应的傅里叶变换 ，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时也需要在该尺度下由 来重建 ，因此要求 是有界的，当 由 时，应有
 (9.4.4)
式中 。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函数提出的又一
要求。满足（9.4.4）式的小波称作“二进（dyadic）”小波。 |
