在数据存储和数据通讯领域，为了保证数据的正确，就不得不采用检错的手段。在诸多检错手段中，CRC是最著名的一种。CRC的全称是循环冗余校验。 为了方便理解CRC原理， 我们这里先介绍一种简单的错误检测方法：校验和。
待发送的消息 : 6 23 4
带校验和的消息 : 6 23 4 33
接受端收到的消息 : 6 27 4 33
这种方式下，我们在接收端计算校验值为6+27+4 = 37, 而校验和中校验码为33.37！=33， 因此可以判定发送数据在传输过程中受到了破坏。
这种简单的校验办法， 有一定作用，但存在一个缺陷：校验成功，不代表数据没有变化。例如假设接受到的数据为8 21 4 33
8+21+4 =33 ,与消息体中校验码一致，校验通过。但数据显然是与发送端原始数据不一致的。
本文介绍的CRC校验，比这种方法要准确和先进的。
CRC校验是从数据本身进行检查，它依靠某种数学上约定的形式进行检查，校验的结果是可靠或不可靠，如果可靠就对数据进行处理，如果不可靠，就丢弃重发或者进行修复。
CRC的基本原理就是：把待发送的数据当作一个二进制数，并且给它生成一个校验码。该校验码是该二进制数与另一个约定的数字的余数。
例如： 数据 （6,23）被当成两个字节的数据，其对应二进制数为0000-0110-0001-0111;（相当于10进制153）
假设我们校验寄存器为1个字节宽，并且校验寄存器里的值为常量1001.（相当于10进制9）
校验值可以这么算出来：1559/9 = 173...2.余数为2，即二进制0010,16进制02.
那么我们可以使用4比特的该校验值传输数据（06172）,其中0617是原始数据，2是校验码。在接收端，可通过钱16位数据0617除以2，计算出余数。并把该余数与读出来的校验码2作比较。如果相等，校验通过，书名数据传输是正确的。否则，数据传输就是错误的。
下面我们以日常使用来更深入的探讨其原理。
由前面讨论可知， CRC码是由两部分组成，前部分是信息码，就是需要校验的信息，后部分是校验码，如果CRC码共长n个bit，信息码长k个bit，就称为(n,k)码。它的编码规则是：
1、首先将原信息码(kbit)左移r位( k+r=n )
2、运用一个生成多项式g(x)（也可看成二进制数）用模2除上面的式子，得到的余数就是校验码。
非常简单，要说明的：模2除就是在除的过程中用模2加，模2加实际上就是我们熟悉的异或运算，就是加法不考虑进位，公式是：
0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1
1 + 1 = 0 1 - 1 = 0
显然，加和减是一样的效果, 都等同于异或运算。
即‘异’则真，‘非异’则假。
由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2减’和‘模2加’真值表完全相同。
有了加减法就可以用来定义模2除法，于是就可以用生成多项式g(x)生成CRC校验码。
例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)码,
校验码的计算：
11101 | 110,0000（设a=11101 ，b=1100000）
取b的前5位11000跟a异或得到101
101加上b没有取到的00得到10100
然后跟a异或得到01001
也就是余数1001
101
11101 | 110,0000
111 01
1 0100
1 1101
1001
余数是1001，所以CRC码是110,1001
如何选择生成多项式？
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很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为
r。生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不
能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：
标准 多项式 16进制表示
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CRC12 x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1 80F
CRC16 x^16 + x^15 + x^2 + 1 8005
CRC16-CCITT x^16 + x^12 + x^5 + 1 1021
CRC32 x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11 04C11DB7
+ x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节，其它用于8位
字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信
协议。而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。在这些生成多项式
中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x + 1。 |
