三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)
![Rank: 8](images/default/star_level3.gif) ![Rank: 8](images/default/star_level3.gif)
- UID
- 1029342
- 性别
- 男
|
三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法,三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式,介绍一下三次样条插值的原理,并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192502-8f32628e12f04cb7aa9f2ca4826ee335.png)
1.1 定义样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点,共有n个区间,三次样条方程满足以下条件:
a. 在每个分段区间 (i = 0, 1, …, n-1,x递增), 都是一个三次多项式。
b. 满足 (i = 0, 1, …, n )
c. ,导数 ,二阶导数 在[a, b]区间都是连续的,即 曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作:
,i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性(自然边界,固定边界,非节点边界)
根据定点,求出每段样条曲线方程中的系数,即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性:
, 其中 i = 0, 1, …, n-1
微分连续性:
, 其中 i = 0, 1, …, n-2
样条曲线的微分式:
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26190036-06a3fff026ab4bcfb69b244f5e95d856.png) ![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192559-efa9c027c26848508d33db28416cdc26.png)
将步长 带入样条曲线的条件:
a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192629-2d7f4cf8dc14499c9d0b24ffdb2354f4.png)
c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201308/13111838-8f7c9318d79f411288368f2c397959ac.png)
由此可得:
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192635-14915077842045248174553324f119b4.png)
d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192642-cd1e15f0e9f741618f41acaa81e50347.png)
设 ,则
a. 可写为:
,推出
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192655-4353ef691b0e41f2b7930d652f33887e.png)
b. 将ci, di带入 可得:
c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得:
端点条件由i的取值范围可知,共有n-1个公式, 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组,还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的,3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力,即 。具体表示为 和 ![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192735-81c745d07fa545ca9c4ac27eca0a60e4.png)
则要求解的方程组可写为:
![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192741-c629f65d48af4a07912bb6b2fbdad544.png) ![](http://images.cnitblog.com/blog/477176/201301/26192744-32c5f5cffe9f4463b604a8180ff339ad.png) |
|
|
|
|
|
![Rank: 6](images/default/star_level3.gif) ![Rank: 6](images/default/star_level2.gif)
- UID
- 1062083
- 性别
- 男
|
|
|
|
|
|