图论算法 有图有代码 万字总结 向前辈致敬（4） 切入点

yuyang911220

Dijkstra算法前面的广度优先搜索中的图是无权图，而如果一旦变成了加权图，那么问题就变得困难起来了。
对于每个顶点，我们标记为known以及unknown，和上面一样，还得有一个距离的dv。与无权最短路径一样，Dijkstra算法也是按阶段进行，在每个阶段选择一个顶点v，它在所有unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。然后紧接着，不断的进行下去即可。
那么这个算法到底是怎么回事了？请看下图。

图中已经对权重做好了标记，以v1作为切入点，因此初始情况如下左图。
v1此时已经是known的了，而其有2个邻接点v2和v4，因此可以调整为如下右图。正无穷图标标识没有连通。pv表示前一个邻接点。

毫无疑问这里会接下来走到v4去，因为v4的权重为1比v2的权重为2要小。调整为如下左图。

可能你已经看到了上图中的右图而好奇为什么下一步是v2，但是v4根本不能走到v2。因为v4能够走到的，比如v3，权重从v1开始一共是3，这比从v1到v2还要大。于是就跳转回到了v2。
下一步便走到了v5，因为只有值为3的权重，同样的v3也是，于是它们俩被双双标记为known。如下左图所示。
紧接着走到了v7，同时v6下调到了5+1=6得到了如下右图。至于为什么要做这个调整，是因为此时v1到v7的加权为1+4=5，而v7到v6的加权为1，所以就有了这个调整。

最后便顺势走到了v6完成了整个Dijkstra算法，它们都已被标记为known。

在后面还将会有一种斐波那契堆，针对Dijkstra算法做了优化，欢迎大家的继续关注。
具有负边值得图而如果一个图具有负的边值，那么Dijkstra算法就行不通了。这是因为一个顶点u被声明为known后，那就可能从某个另外的unknown顶点v有一条回到u的负的路径。而“回到”就意味着循环，前面的例子中我们已经知道了循环是多么的……
问题并非没有解决的办法，如果我们有一个常数X，将其加到每一条边的值上，这样除去负的边，再计算新图的最短路径，最后把结果应用到原图上。然后这个解决方案也是布满了荆棘，因为居多许多条边的路径变得比那些具有很少边的路径权重更重了。如果我们将s放到队列中，然后再每一个阶段让一个顶点v出队，找出所有与v邻接的顶点w，使得dw>dv+cv,w，然后更新到dw和pw，并在w不在队列中时将它放到队列中，可以为每一个顶点设置一个位（bit）以指示它在队列中出现的情况。
无环图如果图是无环的，则可以通过改变声明顶点为known的顺序，或者叫做顶点选取法则来改进Dijkstra算法。这种方法通过拓扑排序来选择顶点，由于选择和更新可以在拓扑排序执行的过程中执行，因此新的算法只需要一趟就可以完成。
通过下面这个动作结点图（activity-node graph）来解释什么是关键路径分析（critical path analysis）再合适不过了。一条边（v，w）表示动作v必须在动作w开始前完成，如前面说描述的那样，这就意味着图必须是无环的。

为了进行这些运算，我们把动作结点图转化成事件结点图（event-node graph），每个事件对应于一个动作和所有与它相关的动作完成。

所以现在我们需要找出事件的最早完成时间，只要找出从第一个事件到最后一关事件的最长路径的长。因为有正值回路（positive-cost cycle）的存在最长路径问题常常是没有意义的。而由于事件结点图是无环图，那就不需要担心回路的问题了，这样一来就不用有所顾忌了。
以下是最早完成时间。

以下是最晚完成时间。

借助顶点的拓扑排序计算最早完成时间，而最晚完成时间则通过倒转拓扑排序来计算。
而事件结点图中每条边的松弛时间（slack time）代表对应动作可以被延迟而不推迟整体完成的时间量，最早完成时间、最晚完成时间和松弛时间如下所示。

某些动作的松弛时间为0，这些动作是关键性的动作，它们必须按计划结束。至少存在一条完成零-松弛边组成的路径，这样的路径是关键路径（critical path）。