在压缩感知理论中，信号越稀疏，恢复信号就越准确。而对于具有复杂特征的信号如自然图像、声音信号来说，固定的正交基有时不足以捕获信号的多种特征，使图像在变换域足够稀疏。例如，正交小波变换由于缺乏平移旋转不变性而不能有效压缩几何图像。 目前对于压缩感知理论的研究还大多集中在固定的正交基空间。压缩感知理论的一个重要前提要找到信号的稀疏域，它直接关系到压缩感知的重构精度。对于信号的稀疏表示问题，大量的研究表明超完备冗余字典下的信号稀疏表示更加有效，而这方面的研究也有了一定的进展。于是，能否将压缩感知理论中的稀疏表示从固定的正交基扩展到冗余字典，引起了人们巨大的研究兴趣。研究表明，如果信号在冗余字典而不是正交基下稀疏，且某些类型的随机矩阵和确定性的字典组合而成的矩阵具有很小的有限等距常量（满足RIP性质），则在冗余字典下稀疏的信号就可以通过BP算法从少量的随机观测值中恢复出来。将稀疏变换Ψ替换为冗余字典之后，在保持信号在冗余字典上的稀疏特性的条件下，现有的大多数重构算法仍然使用，并进一步对可用于信号重建的阈值法和BP及OMP算法作了实验对比分析。显然，采用冗余字典之后，可以增强信号的稀疏性，进而可以以更高的概率从更少的观测中恢复信号。
当然，另一方面由于冗余字典中的原子数量一般情况下都很大，如稀疏表示声音信号的复杂成分或自然图像中的几何特征都需要大量的原子，故基于冗余字典的压缩感知理论在理论上寻优的稳定性问题及计算复杂度高的问题，还有待进一步深入地研究。 |
