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多项式中的常见问题

多项式中的常见问题

不随数域变化的的一些性质

    带余除法的结果

    最大公因式及互素性

    多项式无重根性

三者由上到下进行推导
整系数多项式问题

    命题1 是一个整系数多项式,如果存在正整数m,满足,则没有整数根,特别地,如果是首一的,则也没有有理根(因为首一整系数多项式有理根都是整数根)
    证明:

经典例题

(1)设是一个整系数多项式,已知是一个整系数多项式,且都是奇数,则无整数根。
(2)设是一个整系数多项式,已知a是偶数,b是奇数,且都是奇数,则无整数根。
(3)已知是一个整系数多项式,已知都不被3整除,则无整数根
艾森斯坦判别法的应用

此判别法的证明过程相当的重要,务必熟悉课本证明方法,了解每一个整除和不整除的目的。
证明过程梳理
定理叙述

    (艾森斯坦判别法)设是一个n次整系数多项式,且存在素数p使得

证明提要

    采用反证法,假设可以分解为两个不可约多项式
    由(1)知,由(2)知 或,由(3)知不同时整除于
    不妨假设,将左侧分解式从右至左第一个不被p整除的系数记为(一定能找到,由上一点知),考虑由于但故而故与已知条件矛盾

典型例题

设是一个整系数多项式,并且存在素数p使得,则有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。
一个经典命题

    命题1.2设其中,则可约性相同
    推论:推广的爱森斯坦判别法,只需满足一个就可知道另一个也是否可约

不可约因式与反证法

利用这二者为强大工具,可以进行一系列证明。

例1.已知,则
证明:假设,则取的不可约因式,,又不可约,故或,就会得到或,不管哪种情况,都与之前的已知矛盾。

例2.已知是两个多项式,证明:对任意正整数n,都有

例3.已知是两个多项式,且,证明:对任意正整数n有
整除问题

首先,引入一个命题,课本上作为习题出现,对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。

    命题.已知m,n是正整数,则
    证明:显然有,又假设满足,由知存在那么

例.设,证明充要条件是n为偶数
一类特殊的问题

例.已知是互异的整数,证明:
(1)在有理数域上不可约
(2)n是奇数时,在有理数域上不可约
(3)n是偶数时比较繁琐:可以证明n=2或4时,在有理数域上可能可约,但时,g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)
(4)在有理数域上不可约
提示:不妨假设可约,(1),(2)中将带入后,可分别得到和进一步可得到矛盾,(4)中则利用推导出不可能出现分解式一会儿正,一会儿负的情况,否则由于多项式连续,介值定理知必存在零点,矛盾,故分解式恒正或恒负,接下来工作就较为简单了。
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