零点、极点的比喻

我是MT

自觉浪费了很多时间在学校里，在我那一直延续到三十多岁的求学生涯中，仅有两门课可说修正了我的思维习惯。这两门课都发生在加州理工学院。一门是Carver Mead教授的模拟IC设计，课程的内容已不再重要，只记得Mead教授的课本开首的一句话：“我每多写一个公式，就知道这本书的读者会减少一半。”整个课本讲述一个实习生去水坝工作的所见所闻。半导体的势垒当然就是那水坝，载流子的移动是他感受到的从水坝上“飘过来”的水气。整个课本几乎没有一个公式！

        对知识真正的理解往往可以化作一种感觉。如果您能感觉到零点和极点的移动，普通的控制理论就不再是什么深奥的学说。另一门课是Middlebrook教授的控制理论。Middlebrook和Cuk教授是开关电源控制理论的奠基者，他们的贡献后来被我的大师兄Ericsson（虽然理论上我可以这样叫他，但与他的水平实在相差太远）写在了《Fundamentals of Power Electronics》，至今我仍然认为那是一本该行业最好的教科书。上Middlebrook的课是一种享受。记得第一堂课他让大家计算一个并不复杂的电路的传递函数，大家几乎都“做对了”。 但当他指着我们延绵了三四行的算式问我们应当调整哪些参数时，大家终于明白：一个工程师所面对的未知量几乎从来都比已知量多。我们从小做的作业和试题让我 们相信多数问题都可以列出和未知数一样多的方程。那门课就是教人如何抛弃不重要的量，或假设某些量可以抛弃，再验证其合理性。最后剩下极少数可以清晰控制 的未知量。计算机可以代人验证，却大多不能代替人思考。

        开关电源的控制理论是个十分抽象的、有时令人望而生畏的东西。系统不稳定却是个常常会遇到的问题，如何调整？为何调好的系统大批量生产时又出问题？讲理论的材料很多，大多数人还是觉得Unitrode的那几篇最早的应用手册最有用。这里只想讲讲俺一些不完全需要通过上半身就能感受到的东西。哈！开个玩笑。有了感觉再看Ericsson那几百页应当不那么困难。因是讲感觉，不周密之处难免，还望谅解。

         先说极点，简单的例子是一个RC滤波。对直流C是开路，对无限高频Ｃ是短路，所以波特图的幅值在极点前是平的，极点后开始以-20dB/dec下降。俺对极点的感觉就是一个男人。男人通常开始热情高涨，但多半经不起时间的考验。无论是对爱情，还是日渐稀松的头发，男人大抵都是如此。

        这样零点当然就是女人。简单的例子是一个电容的ESR零点。在直流时，电容的阻值是无穷大，随着频率的增高，阻值不断下降，到极点以后，剩下ESR电阻的阻值就再也不减小了。男人是火，则女人是水，女人虽不见得轰轰烈烈，却多半比男人更有耐力。女人对爱情多半也是刻骨铭心的，看看安娜•卡列尼娜和他的情人就不难了解男人和女人的区别。


        讲完男人女人，轮到两个男人。俺不幸在旧金山附近呆了很久，但这里不想谈论同志（多好的词啊，糟蹋了）的问题。一个LC滤波组成了双极点。两个男人难免起冲突，这就像那高高的Q值。一个没有寄生电阻的LC有无穷高的Q值，会把那个谐振频率的信号放大很多，这是我们当年调一个小电容就能在收音机里收到不同电台的原因。两个男人冲突的很厉害对电源可不是什么好事。而冲突的程度是取决于寄生的电阻值，或者说是取决于劝架的强度（学名叫阻尼）。一个Q值很高的系统，相位很快就从0°到了-180°，非常容易不稳定，也难以补偿。所以一般效率高的系统（电阻成分小）不易稳定。


       对不稳定的系统要做补偿。补偿通常是加一个零点，但同时多半会产生一个高频的极点。比如说在反馈端加一个电容，就会产生一个零点和极点对。俺对零点极点对的 理解就是谈了一次恋爱。零点首先介入，正如女人在谈恋爱的开始多半较强势，对于大多数男人，那是他唯一有兴趣陪女人逛商店的时候。接下来真情的、非真情的 或至少当时是真情的山盟海誓之后，男人和女人走到一起。男人的爱情极点多半是要发生的，如果发生在其生命极点之前那将是一场悲剧，反之则被称为不朽的爱 情。

       对于反馈系统来说，一个极点减小了幅值（有利于稳定），也减少了相位裕度（不利于稳定）；一个零点则增大了幅值（不利于稳定），但增大了相位裕度（利于稳 定）；所以他们都是做了一件好事，一件坏事。唯有右半平面的零点，她既增大了幅值，又减少了相位裕度，也就是做了两件坏事。这样的女人只能用巫婆来形容。 简单的例子是升压电路：主动管开通时，电感储存能量；二极管导通时，电感将储存的能量交给负载。负载得到的电流大约是IL(1-D)。对两个变量求导，低频时电感阻碍电流上升，高频时只有－ILd一项。前面已经知道，幅值从下降到不变的正好像电容的ESR一样是个零点，不同的是有个负号。当负载增加，D会变大以提供更多的电流。但由于输出电流瞬间和 （1-D）成正比，D的增大瞬时反而造成输出电流的减少。正是这个负号将女人变成了巫婆。

        大家知道，我们用的都是负反馈系统。输出多了，就在控制的地方减一点，变化就不会太大。但环路本身大多是有相位滞后的，如果对于某一频率的信号，环路本身相位滞后180°时增益大于1 ，那么加上负反馈的180°就是360°。负反馈变成正反馈了。而且每在回路转一圈幅值都变大，自然就不稳定了。所以系统稳定的条件是转一圈增益为1时（ 0dB），相位滞后要小于180°（考虑裕度，一般要小于135°）。用《尘埃落定》里那个傻子也能理解的话说，就是要像个男人（相位滞后90°，相当一个极点）或一个半男人（相位滞后135°，相当一个半极点）一样死去（到达0dB）。

       让我们来看个例子，对于电流型的buck，电感上的电流被限制住了，于是可怜的电感失去了发言权（严格地说是最前排的发言权）。主电路只剩下一个Rload和Cout组成的极点（男人2）和输出电容的ESR零点(女人1)。当然控制部分肯定有个很低频的极点（男人1）。也就是说我们有两个男人，有了不稳定的危险，关键看ESR的零点(女人1)在哪儿。电解电容的零点频率很低，所以很可能部分中和了一个男人，于是可能不需要任何补偿。而陶瓷电容的零点频率很高，所以我们很可能要通过加女人的办法进行补偿（一般是一个零点极点对，也就是谈一次恋爱才能稳定）。

      对于电压型的buck，L和Cout组成了双极点（男人2和男人3），加上控制部分的极点（男人1）。我们面临的可能是三个男人。毫无疑问，为了要像一个男人一样死去，我们要加一个或两个零极点对。显然电压型的buck不易稳定。像躁动的少年，免不了多谈几次恋爱才能成熟。

      最后讲讲开关电路的零点极点都是如何推导出来的。真要俺在这一步步推还不定卡在哪儿，还是讲讲历史比较有趣。话说开关电源出现时，一般的控制理论已很成熟， 可都是对一个固定的电路。开关电源这厮不光呆在一个状态，有时甚至会有三个以上的状态。这些状态对应了不同的状态方程，究竟怎么描述整体电路哪？Middlebrook当时引入了用占空比加权平均的办法，成功解决了这一问题。其实很好理解。比如你每往东走一步，接着就往北走一步，描述你轨迹的就是50%*东＋50%*北＝东北方。如果每往东走三步，接着就往北走一步，描述你轨迹的就是75%*东＋25%*北＝东偏北方。将不同开关状态的状态方程加权相加，加入小信号干扰，整理后就会得出不同电路的零点极点。

      俺这也就是瞎子摸象，若碰上大学问家，千万别跟俺一般见识。欢迎批评，指正就不必了，没人会把俺讲的“感觉"真当什么学问的。能把枯燥的学问变成有趣的人物，不亦乐乎？