基于最大峰度准则的非因果AR系统盲辨识（1） 统计, 信息, 影响, 有色

我是MT

一、引　　言
在地震勘探、通讯和水声信号处理等许多领域，经常需要辨识非因果系统.要解决这类非因果系统的盲辨识问题、单靠相关函数是不够的，因为它不包含系统的相位信息[1].
基于高阶统计量的系统辨识方法在近年来受到了高度的重视.同基于相关函数的传统辨识方法相比较，高阶统计量的优点在于：1.可保留系统的相位信息，从而有效地辨识非最小相位、非因果系统.2.可以抑制加性有色噪声的影响，提高算法的鲁棒性.在各种高阶统计量中，四阶统计量由于计算相对简单，可以处理对称分布信号而受到人们的特别重视，成为许多算法的基础.
在文献[3]的基础上，本文提出了最大峰度准则，并将其应用到非因果系统的辨识中.通过非线性优化中的梯度法，本文设计了一种AR系统的盲辨识算法，并证明了它的全局收敛性，给出了算法在平衡点附近的收敛速度.算法通过构造逆滤波器的方法来进行盲辨识，同时通过基于高阶累积量的自学习算法用逆滤波器的系数逼近AR系统的参数.这个算法可以辩识非因果系统并且也可用于反卷积或者盲均衡.由于采用了高阶累积量，算法对高斯观测噪声有较好的鲁棒性.
二、基于最大峰度准则的系统辨识算法
设有一未知的线性时不变系统H，其输入序列{u(n)}也未知，我们只观测到其输出序列{x(n)},n=0,1,…,N-1，其中N为测量序列的长度.系统模型为
x(n)=u(n)*h(n)+w(n)　(1)
其中{w(n)}是量测噪声.h(n)是未知的线性时不变系统H的单位脉冲响应.
对这个模型中的信号特性做如下假设：
(A1)线性时不变系统H是稳定的，但它不一定是最小相位，也不一定是因果的，它存在一个稳定的逆系统H-1.
(A2){u(n)}是平稳的零均值非高斯实信号，而且是一个独立同分布信号，它的m阶累积量γm存在，m
3.加性噪声{w(n)}服从高斯分布，其统计特性未知，且与输入信号{u(n)}相独立.
设对逆系统H-1的估计为V，则V的输出{y(n)}为
y(n)=x(n)*v(n)=u(n)*g(n)+w′(n)　(2)
其中w′(n)=w(n)*v(n)仍为一高斯噪声，g(n)是由下式给出的稳定的滤波器
g(n)=h(n)*v(n)　(3)
与通常的峰度定义不同，定义信号x(t)的(规范化的)峰度K42x为
K42x=c4x(0,0,0)/[c2x(0)]2=γ4x/[σ2x]2　(4)
为了克服Shalvi & Weinstein提出的准则[2]中要求信号的方差相等的限制，可以把式(4)定义的(规范化)的峰度值做为准则函数，这使它更适合于实际应用环境定义的准则函数为
J(v(n))=|K42y|=|γ4y/(σ2y)2|　(5)
需要说明的是，这个准则函数实际上是Chi & Wu[3]提出的一大类准则函数中的一个特例.他们提出的准则函数为：
Jl+s,2s(v(n))=|γl+s,y|2s/|γ2s,y|l+s　(6)
其中l>s
1.
显然，式(5)是式(6)在l=3,s=1时的特例.该准则函数的有效性在[3]中得到了证明，但本文将证明基于式(5)这个准则的算法的全局收敛性和收敛速度.
对于非因果AR系统，其逆滤波器是一个因果MA系统和一个反因果MA系统的极联，设这两个系统分别为ω(i)和
(i).针对上面的准则函数，可以利用非线性优化中的梯度法，得到ω(i)和
(i)的自学习算法为：
　(7)
　(8)
式中的数学期望在实际应用中都由相应的均值估计代替.当K42x为正时，x(t)为所谓超值，保证K42y不断向正的方向增大;当K42x为负时，x(t)为亚高斯(Sub-Gaussian)信号，α取负值，K42y不断减小，|K42y|增大.
三、算法的全局收敛性
因为本文采是非线性优化方法，这就必然涉及到一个问题：算法收敛到的是全局极值点还是局部极值点?下面的定理表明算法必然收敛到全局极值点.
定理：式(7)，式(8)的算法的收敛点是全局极值点.
证明：根据输入和输出之间高阶累积量的关系，可以把准则函数改写为
J(v(n))=|K42u|∑g4(n)/[∑g2(n)]2　(9)
去掉其中与输入有关的常数，可以把目标函数进一步简化为
J(g(n))=∑g4(n)/[∑g2(n)]2　(10)
由式(10)，得到下列驻点方程
j=1,2,…　(11)
由式(11)，驻点为g(j)=0或g2(j)=c,其中c=∑g4(i)/∑g2(i)为一常数.为了便于叙述，定义由驻点gM(j)组成的集合GM,M=1,2,…,即
GM={gM:gM(j)符合式(11)，且gM中有M个非零元素}　(12)
由文献[3]关于准则有效性的证明，知道G1是由所有全局极值点组成的集合，下面证明GM，M
2是由不稳定平衡点(鞍点)组成的集合，即利用本算法不会收敛到局部极值点.
假定