CT图像重建算法的FPGA实现之四 空间, 投影, 中心

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我们还可以给出滤波反投影方法的一个直观解释。基于傅里叶切片定理，物体的二维傅里叶变换是通过将许多一维傅里叶变换拼起来得到的。理论上，如果假定一次投影的傅里叶变换形状像一个切成薄片的“派”，我们可以简单地把每个楔子插入适当位置，以得到物体的一个二维傅里叶变换。不幸的是，每个投影傅里叶变换形状类似在频率空间的一个长条。如果简单地计算所有投影傅里叶变换的和（假设在角度上等间隔），中心区域被人为地增强，而外侧区域数值不足。为了用条形区域估计“派”状区域，我们可以给条形傅里叶变换乘以一个函数，该函数在靠近中心位置强度低，靠近边缘时强度高。例如，可以将投影的傅里叶变换与该频率处“派”状楔子的宽度相乘。如果假设N个投影在180°内均匀间隔，每个楔子的宽度在频率是。权重函数的最终作用是加权长条的累加与“派”状楔子的累加具有相同的“质量”。[8]
2.3 计算机实现的理论研究
在程序中，滤波反投影算法的步骤为：

• 投影数据采集
  
• 对投影数据做FFT变换
  
• 滤波
  
• 反投影数据
  
• 逆FFT变换
  
• 
  

等式(2.8)不能以它现有形式直接实现，只要考虑公式(2.10)的解释，就很容易理解这一点。基于傅里叶变换的特性，我们知道在傅里叶域中两个函数相乘等价于两个相应空间域函数的卷积。在空间域中的对应函数是被测平行投影。对应滤波函数的空间领域(或冲激响应)，就是该函数的傅里叶反变换，

                 (2.12)

并不存在。必须研究一个代替方法。一个这样的方法是把有限带宽函数引入公式中。例如在上式中设置t=0，让我们考虑的值。代表在曲线下面的面积。当。因此，等式(2.8)不能以它现有形式实现。必须研究一个代替方法。一个这样的方法是把有限带宽函数引入公式中。

假设投影的傅里叶变换是有限带宽的。换句话说，在频率间隔以外能量为0.在这个假设下，等式(2.10)可以按下面形式表示：

             (2.13)

等式(2.13)指出，要计算滤波的投影，只需要进行投影的傅里叶变换以得到，在范围内乘以，并进行傅里叶反变换。不幸的是，有两个因素使这个看似简单的问题变得复杂：被截断的滤波核的离散化以及环状卷积的性质。要彻底理解滤波核问题，让我们首先在空间域中推导理想滤波核。为保证无混叠采样，投影带宽T必须满足Nyquist(奈奎斯特)采样准则：

                     (2.14)

其中是投影采样间隔(单位为)。在该条件下，初始的斜变函数实际上是与窗函数相乘：

                    (2.15)

其中

滤波函数在图2.1中描绘。现在，滤波器冲激响应可以描述如下

. (2.16)

注意由于的的一个实偶函数，相应的冲激响应也是t的一个实偶函数。