小波包变换的入门

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yuyang911220发表于 2016-8-8 09:20 | 只看该作者

小波包变换的入门

地震, 机械, 高频, 网上, 信息

来源http://blog.sina.com.cn/s/blog_8fc890a20101ecn7.html
最近用到小波方面的知识，尤其是小波包变换。
小波包变换的优势：（大部分书上网上都有，我就简单摘了点过来）
由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。

研究了两天，发现如果从头开始研究需要的时间太长，而且如果想真正弄懂小波，还需要了解泛函的知识并且硬着头皮去看那些枯燥的公式。由于我们科研只要明白个大概，能够找到合适的工具来使用，就可以了。因为之前我弄懂傅里叶变换的时候，也是从先会用再到逐渐深入理解的，所以这次我还是先从会用开始。研究了两天之后，发现我小波变换没弄懂什么，小波包先会用了。由于我痛苦的搜了整个网，慢慢理解了一些东西，所以把有用的几个部分拿过来，结合MATLAB，给和我一样想入门的同学一个参考。

首先，小波包的一些基本的基本要弄懂，就是小波包是从原始信号，分级向下分解。如下图所示。
这就是小波包树，其中节点的命名规则是从（1，0）开始，叫1号，（1，1）是2号，，，，依此类推，（3，0）是7号，（3，7）是14号。每个节点都有对应的小波包系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息已经有了，但是时域信息在哪里呢？那就是 order。这个order就是这些节点的顺序，也就是频率的顺序。
比如，节点的排序是 1，2，3，，，，14，那么频率就按先1号的频率变化，后2号的，再3号的，，，然后14号的。

- - -MATLAB" title="小波包变换的入门 - - -MATLAB">

                           图1

来看一个实例：
采样频率为1024Hz，采样时间是1秒，有一个信号s是由频率100和200Hz的正弦波混合的，我们用小波包来分解。
clear all
clc
fs=1024; %采样频率
f1=100;  %信号的第一个频率
f2=300;  %信号第二个频率
t=0:1/fs:1;
s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信号

[tt]=wpdec(s,3,'dmey'); %小波包分解，3代表分解3层，像图1那样，'dmey'使用meyr小波
plot(tt)             %这个就是画出图1那个图，可以用鼠标在上面点
wpviewcf(tt,1);       %画出时间频率图，如图2

- - -MATLAB" title="小波包变换的入门 - - -MATLAB" height="406" width="501">

图2

现在开始解释：x轴很简单，就是1024个点，对应1秒，每个点就代表1/1024秒，x轴诡异一下，最后一个数就是1.y轴上显示的数字对应于图1 中的节点，从下面开始，顺序是7号节点，8号，10号，9号，，，，11号节点，这个顺序是这么排列的，这是小波包自动排列的，不用管。只要知道怎么查看这个order就可以了。然后，y轴是频率啊，怎么不是100Hz和300Hz呢？原因就是MATLAB这里没有显示频率，显示的是order，频率我们要自己算，怎么算呢。我们的采样频率是1024Hz，根据采样定理，奈奎斯特采样频率是512Hz，我们分解了3层，最后一层就是2^3=8个频率段，每个频率段的频率区间是512/8=64Hz,对吧，那看图2，颜色重的地方一个是在8那里，一个在13那里，8是第二段，也就是65-128Hz之间，13是第五段，也就是257-320Hz之间。这样就说通了，正好这个原始信号只有两个频率段，一个100一个300。如果我们不是分解了3层，而是更多层，那么每个频率段包含的频率也就越窄，图上有颜色的地方也会更细，也就是说更精细了，大家可以自己试试。将3改为6试试。由于原始信号的频率在整个1秒钟内都没有改变，所以有颜色的地方是一个横线。

再看一个实例：

有如下的一个信号，该信号的频率从25Hz左右增长到103Hz，信号长度是256，fs就定为256Hz，也是采样1秒。我们用上面的代码来分析这个信号，不过这次分解层数选为4层，也就是有2^4=16个频率段。每个频段是128/16=8Hz. 这个时候就明白了前面讲到的order的重要性了吧。如果排序不是按照15 16 18 1721，，23那个顺序拍的，就不可能出现这个随时间而频率增大的图了。从图上还可以看出，频率从第三个，也就是24Hz（3*8），一路走高到13个，也就是13*8=104Hz，正好和信号的图示一样，频率逐渐增大。