三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 工业设计, C语言

yuyang911220

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点

  1.1 定义样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：
a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, …, n-1，x递增）， 都是一个三次多项式。
b. 满足 （i = 0, 1, …, n ）
c. ，导数 ，二阶导数 在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：
，i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）
根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-1
微分连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-2
样条曲线的微分式：


将步长 带入样条曲线的条件：
a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出

由此可得：

d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出


设 ，则
a. 可写为：
，推出

b. 将ci, di带入 可得：

c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得：

端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为 和
则要求解的方程组可写为：

yuchengze

很好的算法分析，很有启发性，感谢楼主的分享