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基的却是不具有冗余性的啊，框架才具有冗余性，这种冗余性通过框架界体现出来，你可能理解的冗余性是一种相关性，当非正交基的时候，系数之间体现出了依赖，这里的基我们一般就是resize基
（四）滤波器组完美重构与小波快速算法。
前面的分析可以知道Vj相当于在j分辨率的逼近，Vj-1相当于j-1分辨率的逼近，这样Wj-1相当于两个分辨率逼近的差。在高分辨率下，我们可以用f在（2^j*t）的采样值来代替向Vj空间的投影，但是这是需要说明的，否则成为“小波的罪恶”，本来在Vj上的投影需要函数对Vj上的基 {2^(j/2)*m（2^j*t –n）}投影，用采样值来代替是因为当j足够大的时候，如一般情况下j=7~9时，尺度函数已经非常窄，以致用delta采样来表示误差可以忽略（其实数学推导中还因为尺度函数的消失矩有关），但是必须理解这个取代是近似的。
得到了第j层的系数，如何求得j-1层的逼近系数和两个逼近层次间的误差系数呢？这就是mallat由MRA得出的快速算法。这个算法由上面列出的几个空间和相应基的关系很容易得出。同样重构算法也可以推导得出。（具体可以查看任意一本小波书）
到这里是不是就结束了呢，那这样的话MRA也得不到这么大的名声了，它的伟大之处是与完美滤波器重构桥接上了，从而为小波构造提供了一个普遍的方法，个人认为双正交小波也是由滤波器组理论发展出来。
把快速算法的一级分解和重构结构画出来，这不就是一个完美滤波器重构么？之前对完美滤波器的重构的结论大都可以搬上来了，大家熟知的两个PR方程其实也可以通过MRA下的空间关系推出。当然单由这两个方程得到的h和g有很多解，并不是每个解都可以收敛到尺度函数和小波函数，必须附加其他条件，其中以 Daubechies的p阶消失矩条件构造出的小波应用得最多（Daubechies系列小波）。
很遗憾，除了Haar小波以外（haar小波可由一阶消失矩条件构造出来），没有正交小波满足对称性条件，也就是不满足线性相位，这样在分解重构后会造成失真，在一些需要对称性的场合（如图像的分解重构，奇异点的检测等），结果是不能满足要求的。
为了构造具有光滑特性，一定消失矩，对称的小波，就不得不放弃正交条件，也就是前面提到的双正交多分辨分析
在正交情形下，我们只需要知道H0，就可以由共轭镜像滤波器条件推导得出其他滤波器为G0，H1，G1（是H0的逆序及调制），也就是我们只需要知道一个滤波器。在双正交情形下，由完美重构滤波器条件可从H0，G0推导出H1和G1（通过逆序及调制），这表示我们需要知道两组滤波器。{（H0，G0）（H1，G1）}这两组（双）正交滤波器是可以对调的，就是谁做分解另一组就做重构。由滤波器来造小波的步骤前面已经提及！四个滤波器之间的关系是相互交叉的，即G1由H0逆序调制，而H1由G0逆序调制。
当然我们希望尺度函数和小波是紧支的(暗含滤波器也是紧支的)，否则在计算时需要进行截断，正交紧支小波的对偶为其自身，当然也是紧支的，但是有一个定理：紧支非正交小波，其对偶必然是无限支集的，可能你会很奇怪，我们平时用的双正交小波不都是紧支的么，其实这些紧支双正交小波是经过提升的，Daubechies有一个定理，任何双正交滤波器可通过对惰性滤波器不断做提升和对偶提升而生成！你只需要了解这一事实即可，深入的理解恐怕需要太多的数学知识。至于提升我也希望我能有时间写一个总结，从框架的角度来理解提升，恐怕会容易得多，只是这个愿望可能不太好实现，因为这必须要大量的推导来表述。
最后说说消失矩这个条件，Haar小波得不到应用是因为它的消失矩为1，也就是对大于一次多项式的函数的“消失”效果不好，所谓消失矩其实就是对多项式的抑制能力，消失矩越高，与信号做内积得到的系数越少越小，这在度量信号局部正则性和压缩方面是相当重要的。提升就是一种提高小波消失矩和正则性的及其重要的手段。
注：由mallat算法得到的快速算法不具有平移不变性，其中的原因是因为采样因子是不具有平移不变性的。如果需要保持平移不变性，则需要去掉抽取这一步（多孔算法），其实不是去掉，如果去掉了，就不是小波变换了，而是利用 noble identity把抽样算子移到每一分支的分解完全结束之前而已。得到的是每次分解得到原来两倍长信号，而mallat算法是每次抽掉了其中的一部分，这样随着分解层次的增加，小波系数也越来越稀。多孔也抽，不过移到最后一起抽，然后在重构之前同数目的上采样。
注：实际编程实现的时候由于要做滤波器卷积，每次卷积完后要用wkeep保持原来的长度。
另外，如果觉得这里不好看的，可以上我的博客里面看看
http://blog.sina.com.cn/dingkeke
我觉得自己是用心写了的，还有几个就把小波的基础部分写玩了，不知道有没有写更深入的东西，毕竟马上就要进实验室了
（五）小波的性质及构造
很明显随附加条件不同，我们可以构造出无穷多的正交或双正交小波，Mallat说过，如果没有应用的刺激，小波的构造将变成聊的游戏，这里我们先分析小波具有的性质，然后谈谈如果根据应用来构造（更多情况是选择）小波。
前面虽然给出了小波构造的统一方法，但感觉太笼统，太灵活，这需要些著名的定理来逐步加强认识，既然是定理，大家就试着接受，记住，再理解好了。这里我们只谈紧支正交小波的构造，因为紧支双正交小波的构造已经涉及到了提升的概念。
性质1：消失矩（Vanishing Moment），这可以说是小波最具杀伤力的一个性质，压缩，去噪，快速计算等无不希望小波VM越高越好，虽然是通过滤波器卷积来求小波系数，但是思考上仍然用信号与小波的内积来表示，这样有助于理解小波的性质。由VM的定义可知具有p阶消失矩的小波与小于p次的多项式是正交的，也就是内积为0，这样若函数f是正则的且小波有足够的消失矩，则内积产生很小的系数。注，讨论函数的局部正则性其实是一个比较复杂的问题，在这里，姑且将f在某点附近想成一个k阶多项式和一个误差函数的逼近，这样当k<p，f与多项式内积为0，这样，若函数正则性好，则f与误差函数产生较小的系数。
小波的消失矩与对应滤波器h的傅立叶变换在pi处的零点重数是等价的，事实上我们也用这一点作为附加条件来构造具有p阶消失矩的小波（Daubechies系列的构造方法），当然我们可以构造出任意消失矩的小波，但是我们不得不注意到滤波器长度随小波消失矩增加而增加的事实，时的我们同样只能在支集与消失矩之间折衷！
性质2：正则性，小波的正则性（光滑程度），即使理论上的完全重构，在计算机实施的时候会引起由于量化和截断造成的误差，这样在重构的时候，若小波基不够光滑，则引入的误差很容易被人察觉，如haar小波，若小波基足够正则，引入的光滑误差不容易被察觉。有结论说明，对重要的共轭镜像滤波器族，如样条和Dx 系列，小波的正则性随消失矩提高而提高
性质3：紧支性，我们当然希望我们的滤波器越短越好，因为这意味着计算量的大大减少，同时考虑到小波滑动作内积时包含到函数奇异点的时候同样可能造成大幅值系数（支集越长，包含奇异点的小波次数越多），这样若想大幅值系数数目最小，必须尽可能减小支集长度。前面提到了，紧支与消失矩是矛盾的，为了得到更小的系数，需要高的消失矩，而要得到更少的系数，希望小的支集。有定理在给定的消失矩情形下，Dx系列小波具有最小支集
在这个意义上，这个系列小波是最优的。
注：紧支性和消失矩可以在多小波构造下得到更好的权衡，在实际情况中，我们更多是根据信号的奇异程度来权衡，若信号奇异点很少，则考虑高的消失矩，若奇异点很平凡，则考虑更短的支集。
性质4：对称性，对正交小波来说，除haar外不存在对称或反对称小波，这点daubechies已经严格证明了，而且由消失矩条件通过最小相位构造的小波是极不对称的，这在某些应用中是不好的性质，如奇异点的确定，图像的重构等等，至于symmlet滤波器虽然更对称，但是产生了复小波系数
双正交小波的性质与正交小波是类似的，但是可以做到完全对称，上面讨论的性质对双正交小波依然适用，前面提到双正交情形两组滤波器的位置是可以互调的，在这里我们一般选用消失矩高的小波来做内积，然后用另一个小波做重构（它通常都是最光滑的那个）
在了解了小波的各种性质之后，我们就可以根据不同的应用来构造或选择我们适合的小波了，这在后面具体的应用中会反复提到。
（六）再谈滤波器与小波的关系
大家肯定都熟知了小波构成了L^2的（双）正交基，我们习惯在脑海中把小波系数的幅度看成未被采样的函数和小波之间的相似性度量，这也是我们获得的清楚的物理意义，那么滤波器组的角色仅仅是提供一个快速计算？那就太浅显了，我们回忆下mallat的快速算法，对函数进行采样后近似表示系数，是不是可以考虑成 l^2（Z）中的函数呢？当然可以！那l^2（Z）的基是什么呢？
再回头看看快速分解的公式：第j层的低频系数Aj（n）与滤波器h（n）卷积后做下采样得到j-1层低频系数Aj-1，这个过程可以写成第j层的系数Aj（n）与下采样的滤波器h（2n）做卷积，也可以写成Aj-1（k） = < Aj（n），h（2k-n）>，这个形式是不是很熟悉呢，仔细看是l^2（Z）中的函数在基h（2k-n）下投影，系数为Aj-1（k）；同理可以得到第j-1层细节系数Dj-1（k） = < Aj（n），g（2k-n）>，同样是l^2（Z）中的函数Aj（n）在基g（2k-n）下投影，那这个h和g是不是就是我们要找的离散小波基呢？
可以由滤波器完美重构的条件推得如下结论：
如果h（-n），g（-n），h1，g1是完全重构滤波器组且傅立叶变换都有界，则{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}和{h1（2k-n），g1（2k-n）|k属于Z}构成了l^2（Z）的双正交resize基
如果上面的h（n）=h1（n），g（n）=g1（n），则{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}构成了l^2（Z）的规范正交基。
这个结论的含义是什么呢？我们找到了l^2（Z）的离散小波（双）正交基！而且这些滤波器基按照小波树形分解结构得到的基仍然是l^2（Z）的离散小波（双）正交基！
注，好好理解这两句话，可能你需要对正交基或者双正交基的好处有一些体会！其实同样的方法可以构造离散的小波包的基。
大家都知道我们计算机处理的都是离散信号，以前的快速算法似乎通过将采样数据离散来近似高分辨率数据，然后通过连续小波基之间的尺度关系来推出的快速算法，而现在我们可以完全在离散情况下来考虑这个问题了，因为我们从大自然采集离散数据本身就很方便，我们只需要满足采样定律来保存原信号的信息；同时我们把滤波器看成基，这对以后的提升理解是有帮助的（对这句话有兴趣的可以和我交流）。
那滤波器基和小波基有什么关系呢，考虑对尺度方程和小波方程两边做傅立叶变换，可以通过反复迭代取极限求得尺度函数和小波基的傅立叶变换，也就是我们把滤波器通过某种方式无穷迭代最后会收敛到尺度函数和小波基，这个就叫 cascade算法吧，事实上我们经过三五次迭代的结果就与连续尺度函数和小波基非常相似了。
注：并不是所有的h，g都可以最后收敛的，必须加条件，但我认为这样的h，g同样也可以用来做分解的，这似乎决定了构造离散的基比连续情况的基要简单。至于用不能收敛的h，g来分析有什么后果我还没有深入研究过。
其实以前就接触到很多结论中就有尺度函数和小波与对应滤波器组之间的关系了，如消失矩，滤波器在pi处的零点重数与小波基的消失矩是对应的，这些都是通过尺度方程和小波方程联系起来的，可以说这两个方程为我们的连续与离散架起了一座桥梁！ |
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