使高分辨率A/D转换器获得更高性能（2） 转换器, 分辨率

yuyang911220

如前所述，如果A/D转换器数据有一般的特性模式，那么我们可将数据集放入一般模式中。一般模式通常是指概率分布。由于数据表现出白噪声特性，因此我们可用高斯机率密度函数来评估噪声。函数显示了信号超出特定值的可能性，如以下方程所示：
　　
　　这里： u =真实平均数
　　 x =信号值
　　 s =标准偏差
从该方程式可看到，随着 x 从平均值移开，可能性降低，而输入信号会超过给定值。使用该方程式，我们可实际计算信号在给定时间内处于特定范围的可能性。
因此，我们可采用高斯几率密度函数作为数据模型。下一个问题就是我们的模型到底有多好？我们用两种标准统计原理来解决这一问题。首先，平均法则指出，如果总体存在一个真实的平均数 (u)且x为总体中n个个体随机采样的采样平均数，那么随着n不断加大，采样平均数 (x) 也会越来越接近真实平均数 (u)。由于我们讨论的是白噪声的情况，因此采样平均数会与真实平均数很接近，前提是采样规模足够大。因此，我们知道我们可以信任计算得出的真实平均数 (u)，因为它与真实平均数 (u) 有关。
我们如何了解标准偏差计算得到底好不好？我们可用中心极限定理来回答这一问题。该定理指出，如果总体具有真实平均数 (u) 和真实标准偏差 (s)，那么总体中n个个体所有可能的采样平均数集合的概率分布就会随n的增大越来越接近平均数 (u) 和标准偏差 (s/sqrt n) 的正常分布。从根本上说，如果我们采样更多的话，那么我们就能减小标准偏差。
如果我们完全依赖中心极限定理，那么我们可采用越来越多的采样，从而使标准偏差越来越小。不过改善的速度不会太快。采样数量增加实现标准偏差改善也有一个限制。一旦采样数超过了这个限制，那么您就不会再得到任何好处，甚至还会增加标准偏差。采样数量有限制的理论建立在方差的基础之上。方差理论广泛用于评估信号源的频率稳定性，不过它适用于任何采样系统。换言之，系统稳定时采样只会降低标准偏差。稳定性受许多因素影响，包括随即事件，甚至系统中的漂移。
对于主要包括白噪声的系统而言（与我们这里讨论的系统类似），平均方差是标准方差的测量方法。在这种类型的系统中，我们可采用方差来预计标准方差。通过使用方差，我们可实际预计采样对系统的影响。从根本上说，方差分析之所以起作用，是因为我们收集了大量采样并分析采样数量上升时方差如何变化。方差最小时的采样数量就是我们给定系统的最佳采样数量。这是一个非常有用的工具，有助于我们快速而方便地优化采样技术，从而获得最大的系统性能。
我们不妨将理论运用到实际的 24 位 A/D 转换器来进行检测。我们前面提到的 24 位 A/D 转换器在25 Hz 采样率上噪声约为 0.4 PPM。将 PPM 转化为位数，我们可评估应当如何对 A/D 转换器进行采样以获得期望的性能。在 PPM 和位数之间相互转化的方程式如下所示。
　　
应用以上方程式时，为了获得 24 位分辩率，我们需要将噪声降低至 0.06 PPM。这就是说，我们必须使噪声减少几乎 7 个值才可以。根据中心极限定理，我们需要采用约 49 个采样来实现上述噪声性能。不幸的是，这会让我们的采样率降至约 0.4 Hz，而我们的信号带宽（-3dB 频率）则降至约0.1 Hz。这种采样率不仅对于许多应用而言太慢了，而且信号带宽也会对性能造成灾难性影响，因为输入信号的任何变化都会对建立时间造成极大影响。我们能够以更快的采样速率运行 24 位 A/D，但有效分辩率的降低造成的问题比信号速率还严重，因此我们追求高速度反而会使问题恶化。
幸运的是，我们可以找到解决该问题的方法。ADS1252是一种采样频率为 40 kHz 的 24 位 Δ-Σ A/D转换器。如果有效分辩率在 40 kHz 速率上足够高，那么我们就可获得足够的分辩率，能够对数据进行采样以提高分辩率，并仍然可获得足够的采样率。我们不妨来看看 ADS1252 的规范性能，其在 41,667 Hz 数据速率上的噪声为2.5 PPM。根据中心极限定理，我们应采用 1,736 个采样来实现 0.06 PPM 的噪声，这时的数据速率为 24 Hz。从论文上看，我们已获得了解决方案。此外，由于我们的 A/D 运行时采用更快的采样率，从平均采样数来看，总滤波器衰减较慢。这意味着我们可获得更高的信号带宽。例如，我们早先谈到了带有 sinc3 滤波器的 25 Hz 的 24 位 A/D 转换器，其输出的信号带宽约为 6 Hz。采用平均数据的 ADS1252 的信号带宽约为 10 Hz，因此我们实际上提高了信号带宽。
为了弄明白该解决方案是否切实可行，我们收集了数以万计的采样，并采用平均和方差技术来检查是否确有效果。表 1 和表 2 给出了不同理论的噪声和分辩率比较。
　　表1、噪声比较
　　
　　
表中数据显示了一些有趣的结果。方差分析与实验数据稳和很好；但是，实验数据与中心极限定理预计应得的结果则存在一定偏差。这很可能是由于系统干扰造成的。进一步分析方差显示，采样大于 12,000 没有任何好处。对超过 12,000 次的采样进行平均，实际上反而会降低噪声性能，因为系统因漂移而造成不稳定。因此，我们采用本方法可对系统性能进行优化