在DSP运算中，经常需要把输入时域信号在频域进行处理之后，再还原为时域信号，这样就需要进行FFT和IFFT运算：
x(n) -> FFT -> X(f) -> 频域处理 -> Y(f) -> IFFT -> y(n)
而一般的DSP芯片只支持整数运算，也就是说只能进行定点小数计算。
N点FFT计算出0… N-1，N个复数： 0，A，N/2，A*，A为(N/2-1)个复数，A*为A的共轭复数。
FFT的公式为：
N
X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N)、1 < = k < = N.
n = 1
IFFT的公式为：
N
x(n) = (1/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N)、1 < = n < = N.
k = 1
假设我们对ADC转换器转换的数字信号进行FFT运算，若输入数据为16bit的短整型数，我们可以把它看作Q15的从-1到1之间的小数。根据FFT的公式我们可以知道，FFT变换之后的结果将超出这个范围。
例如在matlab中输入fft(sin([1:8]*0.5))，可以看到结果：
2.8597，-0.8019 - 3.0216i，0.4312 - 0.8301i，0.5638 - 0.3251i，0.5895，0.5638 + 0.3251i，0.4312 + 0.8301i，-0.8019 + 3.0216i
实际上，FFT变换之后的数据的范围在-N到N之间，N为FFT的点数。为了正确地表达-N到N之间的数值，输出数据的Q值将变小，例如若N=1024，输入数据为Q15的话，那么输出数据则必须为Q5才能够确保结果不会溢出。这样的结果将丢失很多信息，以至于IFFT无法还原为原来的数据。如下图所示：
Q15 -> 1024FFT -> Q5 -> 1024IFFT -> Q5
这样，经过FFT和IFFT变换之后，数据从Q15变成了Q5，丢失了10bit的信息。
为了使得定点FFT和IFFT之后能够还原为原来的数据，必须使用32bit定点FFT，输入数据虽然是16bit，在进行FFT的时候将将它转换为32bit运算，这样输入的数据为Q31，1024点FFT的输出数据为Q21，满足16bit的精度要求。这样整个计算流程变为：
Q15 -> Q31 -> 1024FFT32bit -> Q21 -> 1024IFFT32bit -> Q21 -> Q15
在TI的DSPLIB中的FFT和IFFT都提供了两种选择：SCALE和NOSCALE。仍以1024点计算为例，它们的意思分别为：
Q15 -> NOSCALE FFT -> Q15 (结果可能溢出)
Q15 -> SCALE FFT -> Q5 (结果不会溢出，但是精度降低)
Q15 -> NOSCALE IFFT -> Q15 (结果可能溢出)
Q15 -> SCALE IFFT -> Q5 (结果不会溢出，但是精度降低)
32位定点FFT，IFFT与此类似，不再重复。
因此，用DSPLIB进行FFT和IFFT计算时，注意必须采用32bit精度，而且FFT变换时采用SCALE，而IFFT变换时采用NOSCALE。 |
